Понятие многогранника

Определение. Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником. 

Примеры многогранников

Рассмотрим следующие примеры многогранников:

1. Тетраэдр ABCD – это поверхность, составленная из четырех треугольников:  АВС,  ADB, BDC и ADC (рис. 1).

рис. 1

2. Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ – это поверхность, составленная из шести параллелограммов (рис. 2).

рис. 2

 Основные элементы многогранников

Основными элементами многогранника являются грани, ребра, вершины.

Грани – это многоугольники, составляющие многогранник.

Ребра – это стороны граней.

Вершины – это концы ребер.

Рассмотрим тетраэдр ABCD (рис. 1). Укажем его основные элементы.

Грани: треугольники АВС, ADB, BDC, ADC.

Ребра: АВ, АС, ВС, DC, AD, BD.

Вершины: А, В, С, D.

Рассмотрим параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 2).

Грани: параллелограммы АА₁D₁D, D₁DСС₁, ВВ₁С₁С, АА₁В₁В, ABCD, A₁B₁C₁D₁.

Ребра: АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁, AD, A₁D₁, B₁C₁, BC, AB, A₁B₁, D₁C₁, DC.

Вершины: A, B, C, D, A₁,B₁,C₁,D₁.

Треугольная призма

Важным частным случаем многогранника является призма.

Рассмотрим треугольную призму АВСА₁В₁С₁ (рис. 3).

рис. 3

Равные треугольники АВС и А₁В₁С₁ расположены в параллельных плоскостях α и β так, что ребра АА₁, ВВ₁, СС₁ параллельны.

То есть АВСА₁В₁С₁ – треугольная призма, если:

1) Треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны.

2) Треугольники АВС и А₁В₁С₁ расположены в параллельных плоскостях α и β: ABC║А₁B₁C (α ║ β).

3) Ребра АА₁, ВВ₁, СС₁ параллельны.

АВС и А₁В₁С₁ – основания призмы.

АА₁, ВВ₁, СС₁ – боковые ребра призмы.

Если с произвольной точки Н₁ одной плоскости (например, β) опустить перпендикуляр НН₁ на плоскость α, то этот перпендикуляр называется высотой призмы.

Определение. Если боковые ребра перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, а в противном случае – наклонной.

Прямая призма

Рассмотрим треугольную призму АВСА₁В₁С₁ (рис. 4). Эта призма – прямая. То есть, ее боковые ребра перпендикулярны основаниям.

Например, ребро АА₁ перпендикулярно плоскости АВС.  Ребро АА₁ является высотой этой призмы.

рис. 4

Заметим, что боковая грань АА₁В₁В перпендикулярна к основаниям АВС и А₁В₁С₁, так как она проходит через перпендикуляр АА₁ к основаниям.

Наклонная призма

Теперь рассмотрим наклонную призму АВСА₁В₁С₁ (рис. 5). Здесь боковое ребро не перпендикулярно плоскости основания. Если опустить из точки А₁ перпендикуляр А₁Н на АВС, то этот перпендикуляр будет высотой призмы. Заметим, что отрезок АН – это проекция отрезка АА₁ на плоскость АВС.

Тогда угол между прямой АА₁ и плоскостью АВС это угол между прямой АА₁ и её АН проекцией на плоскость, то есть угол А₁АН.

рис. 5

Четырехугольная призма

Рассмотрим четырехугольную призму ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 6). Рассмотрим, как  она получается.

1) Четырехугольник ABCD равен четырехугольнику A₁B₁C₁D₁: ABCD = A₁B₁C₁D₁.

2) Четырехугольники ABCD и A₁B₁C₁D₁ лежат в параллельных плоскостях α и β: ABC║А₁B₁C (α ║ β).

3) Четырехугольники ABCD и A₁B₁C₁D₁ расположены так, что боковые ребра параллельны, то есть: АА₁║ВВ₁║СС₁║DD₁.

Определение. Диагональ призмы – это отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.

Например, АС₁ – диагональ четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁.

Определение. Если боковое ребро АА₁ перпендикулярно плоскости основания, то такая призма называется прямой.

рис. 6

Параллелепипед

Частным случаем четырёхугольной призмы является известный нам параллелепипед. Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ изображен на рис. 7.

Рассмотрим, как он устроен:

1) В основаниях лежат равные фигуры. В данном случае – равные параллелограммы 

ABCD и A₁B₁C₁D₁: ABCD = A₁B₁C₁D₁.

2) Параллелограммы ABCD и A₁B₁C₁D₁ лежат в параллельных плоскостях α и β: ABC║A₁B₁C₁ (α ║ β).

3) Параллелограммы ABCD и A₁B₁C₁D₁ расположены таким образом, что боковые ребра параллельны между собой: АА₁║ВВ₁║СС₁║DD₁.

рис. 7

Из точки А₁ опустим перпендикуляр АН на плоскость АВС. Отрезок А₁Н является высотой.

Шестиугольная призма

Рассмотрим, как устроена шестиугольная призма (рис. 8).

1) В основании лежат равные шестиугольники ABCDEF и 

A₁B₁C₁D₁E₁F₁ : ABCDEF = A₁B₁C₁D₁E₁F₁.

2) Плоскости шестиугольников ABCDEF и A₁B₁C₁D₁E₁F₁ параллельны, то есть основания лежат в параллельных плоскостях: ABC║А₁B₁C (α ║ β).

3) Шестиугольники ABCDEF и A₁B₁C₁D₁E₁F₁ расположены так, что все боковые ребра между собой параллельны: АА₁║ВВ₁…║FF₁.

рис. 8

Определение. Если какое-нибудь боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то такая шестиугольная призма называется прямой.

Правильная призма

Определение. Прямая призма называется правильной, если её основания – правильные многоугольники.

Рассмотрим правильную треугольную призму АВСА₁В₁С₁.

рис. 9

Треугольная призма АВСА₁В₁С₁ – правильная, это значит, что в основаниях лежат правильные треугольники, то есть все стороны этих треугольников равны. Также данная призма - прямая. Значит, боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. А это значит, что все боковые грани – равные прямоугольники.

Итак, если треугольная призма АВСА₁В₁С₁ – правильная, то:

1) Боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть является высотой: AA₁ ⊥ АВС.

2) В основании лежит правильный треугольник: ∆АВС – правильный.

Площадь поверхности призмы

Определение. Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех её граней. Обозначается S_полн.

Определение. Площадью боковой поверхности называется сумма площадей всех боковых граней. Обозначается S_бок.

Призма имеет два основания. Тогда площадь полной поверхности призмы:

S_полн = S_бок+ 2S_осн.

Теорема о площади боковой поверхности призмы

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Доказательство проведем на примере треугольной призмы.

Дано: АВСА₁В₁С₁ – прямая призма, т. е. АА₁ ⊥ АВС.

АА₁ = h.

Доказать: S_бок = Р_осн ∙ h.

рис. 10

Доказательство.

Треугольная призма АВСА₁В₁С₁ – прямая, значит, АА₁В₁В, АА₁С₁С, ВВ₁С₁С – прямоугольники.

Найдем площадь боковой поверхности как сумму площадей прямоугольников АА₁В₁В, АА₁С₁С, ВВ₁С₁С:

S_бок = АВ∙ h + ВС∙ h + СА∙ h = (AB + ВС + CА) ∙ h = P_осн ∙ h.

Получаем, S_бок = Р_осн ∙ h, что и требовалось доказать.