Квадратный корень. Приближенное значение квадратного корня

Бесконечные десятичные непериодические дроби представляют числа, не являющиеся рациональными, они называются иррациональными.

Примером иррациональных чисел является число π≈3,1415926…

Иррациональные числа (в отличие от рациональных) невозможно представить в виде дроби , где a∈ Z ( a принадлежит целым числам ), b∈N ( b принадлежит натуральным числам ).

Обозначается множество иррациональных чисел большой английской буквой I.

Множество рациональных и иррациональных чисел образуют множество действительных чисел. Множество действительных чисел обозначают буквой R.

Квадратным корнем из числа а называют число, квадрат которого равен а.

Обозначение квадратного корня:√

Пример:  

Посчитаем квадратный корень из числа 2

Будем рассуждать следующим образом. Число √2 больше 1, так как 1² < 2. В тоже время, число √2 < 2, так как 2² больше 2. Следовательно, десятичная запись числа будет начинаться следующим образом: 1,… То есть корень из двух, это единица с чем-то: 1<√2<2.

Теперь попытаемся отыскать цифру десятых. Для этого будем дроби от единицы до двойки возводить в квадрат, пока не получим число большее двух. Шаг деления возьмем 0,1, так как мы ищем число десятых. Другими словами будем возводить в квадрат числа: 1,1; 1,2; 1,3; 1,4;1,5; 1,6;1,7; 1,8;1,9

1,1² =1,21;

1,2²=1,44;

1,3²=1,69;

1,4²=1,96;

1,5²=2,25.

Получили число превышающее двойку, остальные числа уже не надо возводить в квадрат. Число 1,4² меньше 2, а 1,5² уже больше двух, то число √2 должно принадлежать промежутку от 1,4 до 1,5 (1,4< √2 < 1,5). Следовательно, десятичная запись числа √2 в разряде десятых должна содержать 4. √2=1,4… Иначе говоря, √2 это число большее 1.4, но не превышающее 1.5.

Далее ищем цифру сотых, точно таким же образом. Возводим в квадрат числа от 1,41 до 1,49, с шагом 0,01, пока не получим число большее двух.

1,41²=1,9881, 1,42²=2,0164.

Уже при 1,42 получаем, что его квадрат больше двух, далее возводить в квадрат числа не имеет смысла.

Из этого получаем, что число √2 будет принадлежать промежутку от 1,41 до 1,42 (1,41< √2< 1,42).

Так как нам необходимо записать √2 с точностью до двух знаков после запятой, то мы уже можем остановиться и не продолжать вычисления. √2 ≈ 1,41. Это и будет ответом. Если бы необходимо было вычислить еще более точное значение, нужно было бы продолжать вычисления, повторяя снова и снова цепочку рассуждений.

Как уже и говорилось выше, данный прием позволяет извлекать корень с любой заданной наперед точностью.

Вопросы к конспектам

В каком значений х выражение имеет смысл? 

Выберите условие, чтоб выражение имел смысл: 

Вычислите: 

Вычислите: 

Запишите числа по возрастанию: 

Решите уравнение: х - 0,2 =  + 0,8

Упростите выражение: 

Количество  целых чисел в интервале 

Найдите выражение, имеющее смысл: