Тригонометрические неравенства и методы их решения

При решении тригонометрических неравенств мы используем свойства неравенств, известных из алгебры, а также различные тригонометрические преобразования и формулы. Использование единичного круга при решении тригонометрических неравенств почти необходимо. Рассмотрим ряд примеров.

Пример 1.

Решить неравенство sinx > 0.

Решение.

В пределах одного оборота единичного радиуса это неравенство справедливо при 0 < x < $begin mathsize 12px style straight pi end style$ . Теперь необходимо добавить период синуса 2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n.

0 + 2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n < x < $begin mathsize 12px style straight pi end style$ + 2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n т.е. 2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n < x < $begin mathsize 12px style straight pi end style$ + 2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n

Пример 2.

Решить неравенство sinx > 0.5.

Решение.

$begin mathsize 12px style straight pi over 6 plus 2 πn less than straight x less than fraction numerator 5 straight pi over denominator 6 end fraction plus 2 πn end style$ Тригонометрические неравенства

Пример 3.

Решить неравенство: $begin mathsize 12px style cos x greater than fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction end style$ .

Решение.

$begin mathsize 12px style negative straight pi over 4 plus 2 πn less than straight x less than straight pi over 4 plus 2 πn end style$ Тригонометрические неравенства

Также при решении простейших неравенств удобно использовать следующий алгоритм:

sinx < a	sinx > a	sinx ≤ a	sinx ≥ a
x₁ $begin mathsize 12px style element of end style$ arcsina+2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n x₂ $begin mathsize 12px style element of end style$ - $begin mathsize 12px style straight pi end style$ - arcsina+2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n Ответ:(- $begin mathsize 12px style straight pi end style$ - arcsina+2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n; arcsina+2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n)	x₁ $begin mathsize 12px style element of end style$ arcsina+2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n x₂ $begin mathsize 12px style element of end style$ $begin mathsize 12px style straight pi end style$ - arcsina+2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n Ответ:(arcsina+2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n; - $begin mathsize 12px style straight pi end style$ - arcsina+2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n)	x₁ $begin mathsize 12px style element of end style$ arcsina+2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n x₂ $begin mathsize 12px style element of end style$ - $begin mathsize 12px style straight pi end style$ - arcsina+2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n Ответ:(- $begin mathsize 12px style straight pi end style$ - arcsina+2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n; arcsina+2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n)	x₁ $begin mathsize 12px style element of end style$ arcsina+2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n x₂ $begin mathsize 12px style element of end style$ - $begin mathsize 12px style straight pi end style$ - arcsina+2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n Ответ:(arcsina+2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n; - $begin mathsize 12px style straight pi end style$ - arcsina+2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n)
cosx < a	cosx > a	cosx ≤ a	cosx ≥ a
x₁ $begin mathsize 12px style element of end style$ arccosa+2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n x₂ $begin mathsize 12px style element of end style$ 2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ - arccosa+2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n Ответ:(arccosa+2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n; 2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ -arccosa+2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n)	x₁ $begin mathsize 12px style element of end style$ arccosa+2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n x₂ $begin mathsize 12px style element of end style$ - arccosa+2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n Ответ:(arccosa+2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n; arccosa+2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n)	x₁ $begin mathsize 12px style element of end style$ arccosa+2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n x₂ $begin mathsize 12px style element of end style$ 2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ - arccosa+2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n Ответ:(arccosa+2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n; 2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ -arccosa+2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n)	x₁ $begin mathsize 12px style element of end style$ arccosa+2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n x₂ $begin mathsize 12px style element of end style$ - arccosa+2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n Ответ:(-arccosa+2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n; arccosa+2 $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n)
tgx < a	tgx > a	tgx ≤ a	tgx ≥ a
x₁ $begin mathsize 12px style element of end style$ $begin mathsize 12px style negative straight pi over 2 end style$ + $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n x_{2 $begin mathsize 12px style element of end style$}arctga + $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n Ответ:( $begin mathsize 12px style negative straight pi over 2 end style$ + $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n; arctga + $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n)	x₁ $begin mathsize 12px style element of end style$ arctga + $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n x₂ $begin mathsize 12px style element of end style$ $begin mathsize 12px style straight pi over 2 end style$ + $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n Ответ:(arctga + $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n; $begin mathsize 12px style straight pi over 2 end style$ + $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n)	x₁ $begin mathsize 12px style element of end style$ $begin mathsize 12px style negative straight pi over 2 end style$ + $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n x₂ $begin mathsize 12px style element of end style$ arctga + $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n Ответ:( $begin mathsize 12px style negative straight pi over 2 end style$ + $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n; arctga + $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n)	x₁ $begin mathsize 12px style element of end style$ arctga + $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n x₂ $begin mathsize 12px style element of end style$ $begin mathsize 12px style straight pi over 2 end style$ + $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n Ответ:(arctga + $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n; $begin mathsize 12px style straight pi over 2 end style$ + $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n)
ctgx < a	ctgx > a	ctgx ≤ a	ctgx ≥ a
x₁ $begin mathsize 12px style element of end style$ $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n x₂ $begin mathsize 12px style element of end style$ arctga + $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n Ответ:( $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n; arctga + $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n)	x₂ $begin mathsize 12px style element of end style$ arctga + $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n x₁ $begin mathsize 12px style element of end style$ $begin mathsize 12px style straight pi end style$ + $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n Ответ:(arctga + $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n; $begin mathsize 12px style straight pi end style$ + $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n)	x₁ $begin mathsize 12px style element of end style$ $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n x₂ $begin mathsize 12px style element of end style$ arctga + $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n Ответ:( $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n; arctga + $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n)	x₂ $begin mathsize 12px style element of end style$ arctga + $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n x₁ $begin mathsize 12px style element of end style$ $begin mathsize 12px style straight pi end style$ + $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n Ответ:(arctga + $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n; $begin mathsize 12px style straight pi end style$ + $begin mathsize 12px style straight pi end style$ n)

Вопросы к конспектам

Решите неравенство: sinx + cos2x > 1

Решите неравенство: sin2x + cos2x > 1

Решите неравенство:

Error converting from MathML to accessible text.

Решите неравенство:

Error converting from MathML to accessible text.

Решите неравенство: sinxcosx ≥ 0

Решите неравенство:

Error converting from MathML to accessible text.

Решите неравенство:

Error converting from MathML to accessible text.

Решите неравенство:

Error converting from MathML to accessible text.

Решите неравенство: 2sin²x < sin2x

Решите неравенство:

Error converting from MathML to accessible text.

Решите неравенство:

Error converting from MathML to accessible text.

Решите неравенство:

Error converting from MathML to accessible text.

Последнее изменение: Среда, 1 Февраль 2017, 18:21