Системы тригонометрических уравнений и методы их решения

Решение.

Исходная система имеет смысл лишь в случае, котла определены функции tgх и tgу, т.е. выполняются условия cosx ≠ 0, cosy ≠ 0.          (3)

Рассмотрим пер вое уравнение. Естественно было бы разделить обе его части на 1 - tgхtgу и воспользоваться формулой тангенса суммы. Тогда уравнение (1) можно было бы переписать в виде: tg(x + y) = 1       (4)

но при этом мы можем потерять те решения системы (1), (2), для которых 1 - tgxtgy = 0       (5)

Однако легко убедиться в том. что система (1), (2), (5) не имеет решений. В самом деле, если бы существовали решения этой системы, то из уравнений (1) следовало бы. что tgх + tgу = 0. Но тогда уравнение (5) приняло бы вил 1 + tg2y=0, и следовательно, оно бы решений не имело.

Таким образом, исходная система пир условии (3) равносильна системе (2), (4).

Из уравнений (4) находим  т.е.

       (6)

Теперь найденное для у выражение подставим в уравнение (2) исходной системы:

Полученное уравнение приводится к виду sinх(2sinх + ) = 0, откуда

По формуле (6) определяем соответствующие значение у.

для серии а)         (7)

для серии б)          (8)

Значения (х. у) из формулы (7) удовлетворяют условию (3). Для серии (8) требуется дополнительное исследование. Если sinх =  то cosх ≠ 0. так что первое неравенство условия (3) заведомо выполнено. Второе неравенство cosу ≠ 0 выполняется не всегда.

Если к - четное число, т.е. к = 2р, где рZ. то по формуле (8) находим у =  + (n - 2р). Для этих значений у условие (3) не выполняется. Если же к - нечетное число, т.е. к = 2р - 1. где рZ. то у = (n - 2р + 1) и условие (3) выполнено. Соответствующие значения х находим по формуле б): 

Ответ: