Обратные тригонометрические функции

Функции     называются обратными тригонометрическими функциями.

Функция y = arcsin x.

По определению арксинуса числа для каждого x ∈[−1;1] определено одно число y =arcsinx.

Тем самым на отрезке [−1;1] задана функция y =arcsinx, −1≤ x ≤1.

Функция y =arcsinx является обратной к функцииy =sinx, где ≤ x ≤ 

Поэтому свойства функции y =arcsinx можно получить из свойств функции y = sinx

График функции y = arcsinx симметричен графику функции y = sinx, где ≤ x ≤   относительно прямой y = x. 

 График функции y =arcsinx

 Основные свойства функции y =arcsinx

1. Область определения - отрезок [−1;1]
2. Множество значений - отрезок [;]
3. Функция y =arcsinx - возрастает.
4. Функция y =arcsinx является нечётной, так как arcsin(−x)=−arcsinx

Функция y = arccos x.

По определению арккосинуса числа для каждого x∈[−1;1] определено одно число y =arccosx.

Тем самым на отрезке [−1;1] определена функция y =arccosx,где −1 ≤ x ≤ 1.

Функция y = arccosx является обратной к функции y = cosx,где 0 ≤  x ≤ 

График функции y = arccosx симметричен графику функции y = cosx, где 0 ≤ x ≤  относительно прямой y = x.

Функция y =arccosx

Основные свойства функции y =arccosx

1. Область определения - отрезок [−1;1] 
2. Множество значений - отрезок [0; ]
3. Функция y =arccosx убывает

Функция y = arctg x.

По определению арктангенса числа для каждого действительного x определено одно число y=arctgx.

Тем самым на всей числовой прямой определена функция y =arctgx, x ∈ R.

Эта функция y = arctgx является обратной к функции y = tgx, где ≤ x ≤ 

График функции y =arctgx

Основные свойства функции y =arctgx

1. Область определения - множество R всех действительных чисел
2. Множество значений - интервал (;)  
3. Функция y =arctgx возрастает.
4. Функция y =arctgx является нечётной, так как arctg(−x) =−arctgx

Функция y = arcctg x.

Функция y =ctgx монотонна на каждом из следующих интервалов: 

(−; 0), (0; ), (;2) и т.д.

Значит, на каждом из указанных промежутков функция y =ctgx имеет обратную функцию.

Это различные обратные функции, но обычно выбирают функцию, обратную к функции 

y =ctgx, где x ∈(0; ).

Её обозначают x =arcctgy. Поменяв, как обычно, x иy местами, получим y =arcctgx, т.е. функцию, обратную к функции y =ctgx, гдеx ∈(0; ).

Поэтому, график функции y =arcctgx можно получить из графика функции y =ctgx, x ∈(0;) с помощью преобразования симметрии относительно прямой y =x.

Вопросы к конспектам

Вычислите: 

Вычислите: 

Вычислите: 

Вычислите: 

Вычислите: 

Вычислите: 

Вычислите: