Равенство векторов, сложение векторов и его свойства, вычитание векторов, умножение вектора на число

Определение.  Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

Если точка А – начало вектора begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style, то говорят, что вектор begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style отложен от точки А.

Утверждение: От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style, и притом только один.

Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой

Сумма двух векторов

      Для того, чтобы найти сумму двух произвольных векторов  begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style и begin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end style нужно совместить начало вектора begin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end style с концом вектора begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style. Тогда началом вектора begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style + begin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end style будет начало вектора begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style, а концом вектора begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style + begin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end styleбудет конец вектора begin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end style

сложение векторов

При этом, если begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style = (a1; a2)   begin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end style = (b1; b2) то begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style + begin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end style = (a1 + b1; a2 + b2)

Этот факт часто формулируют так: «При сложении векторов их координаты складываются».

Законы сложения векторов 

  1. begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style + begin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end style = begin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end style+begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style  (переместительный закон) Правило параллелограмма

Пусть begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style и begin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end style - два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки АВ = begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style, затем вектор AD = begin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end style. На этих векторах  построим параллелограмм ABCD.

stack size 12px A size 12px C with size 12px rightwards arrow on top size 12px equals stack size 12px A size 12px B with size 12px rightwards arrow on top size 12px plus stack size 12px B size 12px C with size 12px rightwards arrow on top size 12px equals begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style + begin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end style

stack size 12px A size 12px C with size 12px rightwards arrow on top size 12px equals stack size 12px A size 12px D with size 12px rightwards arrow on top size 12px plus stack size 12px D size 12px C with size 12px rightwards arrow on top size 12px equalsbegin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end style + begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style

  1. (begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style + begin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end style) + begin mathsize 14px style c with rightwards arrow on top end style = begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style + (begin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end style + begin mathsize 14px style c with rightwards arrow on top end style)  (сочетательный закон)

Противоположные векторы

 Пусть begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style - произвольный нулевой вектор.

Определение. Вектор begin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end style называется противоположным вектору begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style, если begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style и begin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end style имеют равные длины и противоположно направленны.

begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style = begin mathsize 12px style stack A B with rightwards arrow on top end stylebegin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end style = begin mathsize 12px style stack B A with rightwards arrow on top end style

Вектор, противоположный вектору с, обозначается так: begin mathsize 14px style negative c with rightwards arrow on top end style

Очевидно, begin mathsize 14px style c with rightwards arrow on top end style + (begin mathsize 14px style negative c with rightwards arrow on top end style) = begin mathsize 14px style 0 with rightwards arrow on top end style или begin mathsize 12px style stack A B with rightwards arrow on top end style + begin mathsize 12px style stack B A with rightwards arrow on top end style = begin mathsize 14px style 0 with rightwards arrow on top end style

Вычитание векторов

Определение. Разностью двух векторов begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style и begin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end style называется такой вектор, сумма которого с вектором begin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end style равна вектору begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style.

Теорема. Для любых векторов begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style и begin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end style справедливо равенство begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style - begin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end style = begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style + (-begin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end style)

Операция вычитания двух векторов наглядно изображена на рисунке

Вычитание двух векторов

При этом, если begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style = (a1; a2)  begin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end style=(b1; b2) то begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style - begin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end style = (a1 - b1; a2 - b2)

Этот факт часто формулируют так: "Для того, чтобы найти координаты вектора begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style - begin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end style, нужно из координат вектора begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style вычесть координаты вектора begin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end style".

Умножение вектора на число.

Определение. Произведением нулевого вектора а на число k называется такой вектор begin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end style, длина которого равна вектору kbegin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style, причем векторы begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style и begin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end style сонаправленны при k ≥ 0 и противоположно направленны при k < 0.

Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.

Для любого числа k и любого вектора begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style и begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end stylek коллинеарны.

Для любых чисел k, n и любых векторов begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end stylebegin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end style справедливы равенства:

  • (kn)begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style = k(nbegin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style) (сочетательный закон)
  • (k+n)begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style = kbegin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style + nbegin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style (первый распределительный закон)
  • k(begin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style + begin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end style) = kbegin mathsize 14px style а with rightwards arrow on top end style + kbegin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end style (второй распределительный закон)

Свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражениях. Например,

Error converting from MathML to accessible text.Error converting from MathML to accessible text.

Последнее изменение: Воскресенье, 29 Январь 2017, 23:45