Равенство векторов, сложение векторов и его свойства, вычитание векторов, умножение вектора на число

Определение.  Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

Если точка А – начало вектора , то говорят, что вектор  отложен от точки А.

Утверждение: От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору , и притом только один.

Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой

Сумма двух векторов

      Для того, чтобы найти сумму двух произвольных векторов   и  нужно совместить начало вектора  с концом вектора . Тогда началом вектора  +  будет начало вектора , а концом вектора  + будет конец вектора 

При этом, если  = (a₁; a₂)    = (b₁; b₂) то  +  = (a₁ + b₁; a₂ + b₂)

Этот факт часто формулируют так: «При сложении векторов их координаты складываются».

Законы сложения векторов 

1.  +  = +  (переместительный закон) Правило параллелограмма

Пусть  и  - два вектора. Отметим произвольную точку А и отложим от этой точки АВ = , затем вектор AD = . На этих векторах  построим параллелограмм ABCD.

  + 

 + 

2. ( + ) +  =  + ( + )  (сочетательный закон)

Противоположные векторы

 Пусть  - произвольный нулевой вектор.

Определение. Вектор  называется противоположным вектору , если  и  имеют равные длины и противоположно направленны.

 = ,  = 

Вектор, противоположный вектору с, обозначается так: 

Очевидно,  + () =  или  +  = 

Вычитание векторов

Определение. Разностью двух векторов  и  называется такой вектор, сумма которого с вектором  равна вектору .

Теорема. Для любых векторов  и  справедливо равенство  -  =  + (-)

Операция вычитания двух векторов наглядно изображена на рисунке

При этом, если  = (a₁; a₂)  =(b₁; b₂) то  -  = (a₁ - b₁; a₂ - b₂)

Этот факт часто формулируют так: "Для того, чтобы найти координаты вектора  - , нужно из координат вектора  вычесть координаты вектора ".

Умножение вектора на число.

Определение. Произведением нулевого вектора а на число k называется такой вектор , длина которого равна вектору k, причем векторы  и  сонаправленны при k ≥ 0 и противоположно направленны при k < 0.

Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.

Для любого числа k и любого вектора  и k коллинеарны.

Для любых чисел k, n и любых векторов ,  справедливы равенства:

• (kn) = k(n) (сочетательный закон)
• (k+n) = k + n (первый распределительный закон)
• k( + ) = k + k (второй распределительный закон)

Свойства действий над векторами позволяют в выражениях, содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования по тем же правилам, что и в числовых выражениях. Например,