Скалярное произведение векторов

Угол между векторами — это угол между направлениями этих векторов (наименьший угол).

угол между векторами
По определению, угол между двумя векторами находится в промежутке [0°; 180°].

Угол между векторами begin mathsize 14px style a with rightwards arrow on top end style и begin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end style обозначается так: begin mathsize 14px style stack a with rightwards arrow on top semicolon space b with rightwards arrow on top with hat on top end style.

Если векторы перпендикулярны, то угол между ними равен 90°. Если векторы сонаправлены, в частности один из них или оба нулевые, то угол между ними равен 0°. Если противоположно направленные векторы, то угол между ними равен 180°.
Угол между двумя ненулевыми векторами находится с помощью вычисления скалярного произведения. По определению скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними (скалярное произведение для двух векторов с координатами (х1; у1) и (х2; у2) вычисляется по формуле: x1x2 + y1y2).

Скалярное произведение векторов — это число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
size 14px a with size 14px rightwards arrow on top size 14px asterisk times size 14px b with size 14px rightwards arrow on top size 14px equals open vertical bar size 14px a with size 14px rightwards arrow on top close vertical bar size 14px asterisk times open vertical bar size 14px b with size 14px rightwards arrow on top close vertical bar size 14px asterisk times size 14px c size 14px o size 14px s open parentheses stack size 14px a with size 14px rightwards arrow on top size 14px semicolon size 14px space size 14px b with size 14px rightwards arrow on top with size 14px hat on top close parentheses
Из формулы вытекает соотношение begin mathsize 14px style a with rightwards arrow on top end style = |begin mathsize 14px style a with rightwards arrow on top end style|2

Следствие 1.

Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.
size 14px a with size 14px rightwards arrow on top size 14px asterisk times size 14px b with size 14px rightwards arrow on top size 14px equals size 14px 0 size 14px left right double arrow size 14px a with size 14px rightwards arrow on top size 14px perpendicular size 14px b with size 14px rightwards arrow on top

Если в декартовой прямоугольной системе координат векторы имеют координаты: begin mathsize 14px style a with rightwards arrow on top end style = (а12) begin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end style = (b1;b2), то их скалярное произведение выражается формулой: (begin mathsize 14px style a with rightwards arrow on top end style, begin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end style) = (а1b1 + а2b2).

Другими словами, в декартовой прямоугольной системе координат скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.

Зная координаты векторов можно найти косинус угла между векторами begin mathsize 14px style a with rightwards arrow on top end style и begin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end style
size 14px c size 14px o size 14px s size 14px phi size 14px equals fraction numerator open parentheses size 14px a with size 14px rightwards arrow on top size 14px comma size 14px b with size 14px rightwards arrow on top close parentheses over denominator open vertical bar size 14px a with size 14px rightwards arrow on top close vertical bar size 14px asterisk times open vertical bar size 14px b with size 14px rightwards arrow on top close vertical bar end fraction size 14px equals fraction numerator size 14px a subscript size 14px 1 size 14px b subscript size 14px 1 size 14px plus size 14px a subscript size 14px 2 size 14px b subscript size 14px 2 over denominator square root of size 14px a subscript size 14px 1 superscript size 14px 2 size 14px plus size 14px a subscript size 14px 2 superscript size 14px 2 end root square root of size 14px b subscript size 14px 1 superscript size 14px 2 size 14px plus size 14px b subscript size 14px 2 superscript size 14px 2 end root end fraction

Последнее изменение: Воскресенье, 29 Январь 2017, 23:47