Векторы в прямоугольной системе координат, координаты вектора

Зададим прямоугольную декартову систему координат Оху на плоскости и отложим от начала координат векторы  и , направление которых совпадает с положительными направлениями осей Ох и Оу соответственно, а длина вектора  и длина вектора  равна единице.

Векторы  и  называются координатными векторами данной системы координат.

Теперь от начала координат отложим произвольный вектор й. В силу геометрического определения операций над векторами, вектор  можно представить в виде , причем коэффициенты ах и ау определяются единственным образом, что легко доказывается методом от противного.

Представление вектора  в виде  называется разложением вектора  по координатным векторам  и  на плоскости.
Коэффициенты а_x и а_y, называются координатами вектора в данной системе координат на плоскости.

Координаты вектора в данной системе координат будем записывать через запятую в круглых скобках, отделяя их от обозначения вектора знаком равенства. К примеру, запись  = (5;-3) означает, что вектор  имеет координаты (5; -3) в заданной системе координат Оху и раскладывается по координатным векторам  и  как  = 5- 3.

Обратите внимание: порядок записи координат имеет значение! Вектор с координатами (5;-3) отличен от вектора  = (5;-3).

Очевидно, =(1;0), =(0;1) так как разложения координатных векторов имеют вид ; 

Нулевой вектор на плоскости имеет координаты равные нулю (0;0), так как 

Пусть векторы =(а_х; а_y) и = (b_x; b_y) равны. Тогда они совпадут, если их отложить от начала координат. Следовательно, их разложения по координатным векторам будут иметь один и тот же вид. Поэтому ,  =  то есть, соответствующие координаты равных векторов равны.

Координаты противоположного вектора -  противоположны соответствующим координатам вектора , то есть, - = (- а_х; - a_y).