Векторы в прямоугольной системе координат, координаты вектора

Зададим прямоугольную декартову систему координат Оху на плоскости и отложим от начала координат векторы size 14px i with size 14px rightwards arrow on top и begin mathsize 14px style j with rightwards arrow on top end style, направление которых совпадает с положительными направлениями осей Ох и Оу соответственно, а длина вектора size 14px i with size 14px rightwards arrow on top и длина вектора begin mathsize 14px style j with rightwards arrow on top end style равна единице.

Векторы size 14px i with size 14px rightwards arrow on top и begin mathsize 14px style j with rightwards arrow on top end style называются координатными векторами данной системы координат.

Теперь от начала координат отложим произвольный вектор size 14px a with size 14px rightwards arrow on topй. В силу геометрического определения операций над векторами, вектор size 14px a with size 14px rightwards arrow on top можно представить в виде size 14px a with size 14px rightwards arrow on top size 14px equals size 14px a subscript size 14px x size 14px asterisk times size 14px i with size 14px rightwards arrow on top size 14px plus size 14px a subscript size 14px y size 14px asterisk times size 14px j with size 14px rightwards arrow on top, причем коэффициенты ах и ау определяются единственным образом, что легко доказывается методом от противного.

операции над векторами

Представление вектора size 14px a with size 14px rightwards arrow on top в виде size 14px a with size 14px rightwards arrow on top size 14px equals size 14px a subscript size 14px x size 14px asterisk times size 14px i with size 14px rightwards arrow on top size 14px plus size 14px a subscript size 14px y size 14px asterisk times size 14px j with size 14px rightwards arrow on top называется разложением вектора size 14px a with size 14px rightwards arrow on top по координатным векторам size 14px i with size 14px rightwards arrow on top и begin mathsize 14px style j with rightwards arrow on top end style на плоскости.
Коэффициенты аx и аy, называются координатами вектора в данной системе координат на плоскости.

Координаты вектора в данной системе координат будем записывать через запятую в круглых скобках, отделяя их от обозначения вектора знаком равенства. К примеру, запись size 14px a with size 14px rightwards arrow on top = (5;-3) означает, что вектор size 14px a with size 14px rightwards arrow on top имеет координаты (5; -3) в заданной системе координат Оху и раскладывается по координатным векторам size 14px i with size 14px rightwards arrow on top и begin mathsize 14px style j with rightwards arrow on top end style как size 14px a with size 14px rightwards arrow on top = 5size 14px i with size 14px rightwards arrow on top- 3begin mathsize 14px style j with rightwards arrow on top end style.

Обратите внимание: порядок записи координат имеет значение! Вектор с координатами (5;-3) отличен от вектора size 14px a with size 14px rightwards arrow on top = (5;-3).

Очевидно, size 14px i with size 14px rightwards arrow on top=(1;0), begin mathsize 14px style j with rightwards arrow on top end style=(0;1) так как разложения координатных векторов имеют вид size 14px i with size 14px rightwards arrow on top size 14px equals size 14px 1 size 14px asterisk times size 14px i with size 14px rightwards arrow on top size 14px plus size 14px 0 size 14px asterisk times size 14px j with size 14px rightwards arrow on topsize 14px j with size 14px rightwards arrow on top size 14px equals size 14px 0 size 14px asterisk times size 14px i with size 14px rightwards arrow on top size 14px plus size 14px 1 size 14px asterisk times size 14px j with size 14px rightwards arrow on top

Нулевой вектор begin mathsize 14px style 0 with rightwards arrow on top end style на плоскости имеет координаты равные нулю (0;0), так как begin mathsize 14px style 0 with rightwards arrow on top equals 0 asterisk times i with rightwards arrow on top plus 0 asterisk times j with rightwards arrow on top end style

Пусть векторы size 14px a with size 14px rightwards arrow on top=(ах; аy) и begin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end style = (bx; by) равны. Тогда они совпадут, если их отложить от начала координат. Следовательно, их разложения по координатным векторам будут иметь один и тот же вид. Поэтому , size 14px a with size 14px rightwards arrow on top = begin mathsize 14px style b with rightwards arrow on top end style size 14px left right double arrow open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell size 14px a subscript size 14px x size 14px minus size 14px b subscript size 14px y end cell row cell size 14px a subscript size 14px y size 14px equals size 14px b subscript size 14px y end cell end table closeто есть, соответствующие координаты равных векторов равны.

Координаты противоположного вектора - size 14px a with size 14px rightwards arrow on top противоположны соответствующим координатам вектора size 14px a with size 14px rightwards arrow on top, то есть, -size 14px a with size 14px rightwards arrow on top = (- ах; - ay).

Последнее изменение: Воскресенье, 29 Январь 2017, 23:46