Тождественное преобразование тригонометрических выражений
В тождественных преобразованиях тригонометрических выражений могут быть использованы следующие алгебраические приемы: добавление и вычитание одинаковых слагаемых; вынесение общего множителя за скобки; умножение и деление на одну и ту же величину; применение формул сокращенного умножения; выделение полного квадрата; разложение квадратного трехчлена на множители; введение новых переменных с целью упрощения преобразований.
При преобразованиях тригонометрических выражений, содержащих дроби, можно использовать свойства пропорции, сокращение дробей или приведение дробей к общему знаменателю. Кроме того, можно пользоваться выделением целой части дроби, умножением числителя и знаменателя дроби на одинаковую величину, а так же по возможности учитывать однородность числителя или знаменателя. При необходимости можно представлять дробь в виде суммы или разности нескольких более простых дробей.
Кроме того, применяя все необходимые методы преобразования тригонометрических выражений, необходимо постоянно учитывать облась допустимых значений преобразуемых выражений.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1.
Вычислить
Решение.
Из формул приведения следует:
Откуда в силу формул сложения аргументов и основного тригонометрического тождества получаем
(sin 2x · cos x + cos 2x · sin x)2 + (-sin x · sin 2x + cos x · cos 2x)2 = sin2 (2x + x) + cos2 (x + 2x) = sin2 3x + cos2 3x = 1
Ответ: 1.
Основными приемами доказательства тригонометрических тождеств являются:
- сведение левой части тождества к правой путем соответствующих преобразований;
- сведение правой части тождества к левой;
- сведение правой и левой частей тождества к одному и тому же виду;
- сведение к нулю разности левой и правой частей доказываемого тождества.
Пример 2.
Доказать, что cos3x = -4cosx * cos(x + ) * cos(x +
)
Решение.
Преобразуя правую часть этого тождества по соответствующим тригонометрическим формулам, имеем:
Правая часть тождества сведена к левой.
Пример 3.
Доказать, что sin2α + sin2β + sin2γ - 2cosα * cosβ * cosγ=2, если α, β, γ - внутренние углы некого треугольника.
Решение.
Учитывая, что α, β, γ - внутренние углы некого треугольника, получаем, что α + β + γ = π и, значит, γ = π - α - β.
Получим: sin2α + sin2β + sin2γ - 2cosα * cosβ * cosγ = sin2α + sin2β + sin2(π - α - β) - 2cosα * cosβ * cos(π - α - β)= sin2α + sin2β + sin2(α + β) + (cos(α + β) + cos( α - β) * cos(α + β)) = sin2α + sin2β + (sin2(α + β) + cos2(α + β)) + cos( α - β) * cos(α + β) = * (1 - cos2α) +
* (1 - cos2β) + 1 +
* (cos2α + cos2β)=2.
Исходное равенство доказано.
Вопросы к конспектам