Тригонометрические функции и их свойства. Основные тригонометрические тождества

Рассмотрим некоторые свойства тригонометрических функ­ций. Выясним сначала, какие знаки имеют синус, косинус, тан­генс и котангенс в каждой из координатных четвертей. Пусть при повороте радиуса ОА, равного R, на угол α точка А перешла в точку В с координатами х и у .

Так как sin α =  то знак sin α зависит от знака у. В I и II четвертях у > 0, а в III и IV четвертях у < 0. Значит, sin α>0, ес­ли а является углом I или II четверти, и sin α<0, если а явля­ется углом III или IV четверти. Знак cos α зависит от знака х, так как cos α = .  В I и IV четвертях х>0, а во II и III четвертях х<0. Поэтому cos α > 0, если α является углом I или IV четверти, и cos α < 0, если α является углом II или III четверти. Так как tg α = , а ctg α - , то знаки tg α и ctg а зависят от знаков х и у. В I и III четвертях х и у имеют одинаковые знаки, а во II и IV — разные. Значит, tg α>0 и ctg α>0, если а явля­ется углом I или III четверти; tg α<0 и ctg α<0, если а явля­ется углом II или IV четверти. Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в каждой из четвертей показаны на рисунке.

Выясним теперь вопрос о четности и нечетности тригонометрических функций.

Пусть при повороте на угол α радиус ОА переходит в радиус ОВ, а при поворо­те на угол —а в радиус ОС . Сое­динив отрезком точки В и С, получим равнобедренный треугольник ВОС. Луч ОА является биссектрисой угла ВОС. Значит, отрезок ОК является медианой и высотой треугольника ВОС. Отсюда сле­дует, что точки В и С симметричны отно­сительно оси абсцисс. Пусть координаты точки В равны х и у, тогда координаты точки С равны х и y.

Пользуясь этим, найдем, что     

Мы получили формулы, выражающие зависимость между си­нусами, косинусами, тангенсами и котангенсами противополож­ных углов: sin ( - α) = - sin α;  cos (- α) = cos α;  tg( -α) = - tgα;  ctg( -α) = - ctg α. Например: cos ( — 40°) = cos 40°, tg(-60°) = -tg60° = -√3. Итак, синус, тангенс и котангенс являются нечетными функ­циями, а косинус является четной функцией. Рассмотрим еще одно свойство тригонометрических функ­ций. Если при повороте радиуса ОА на угол α получен радиус 0В, то тот же радиус получится и при повороте ОА на угол, отличающийся от а на целое число оборотов. Отсюда сле­дует, что при изменении угла на целое число оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса не изменяются.

Основные тригонометрические тождества

Рассмотрим окружность радиуса 1 с центром в начале координат.

Если для координат точки  M₁, лежащей на этой окружности, ввести обозначение M₁ =(x₁;y₁ ),

то, в силу теоремы Пифагора, будет справедливо равенство

x₁² + y₁² = 1 ,

а синус, косинус, тангенс и котангенс угла α будут вычисляться по формулам

      Из этих формул, в частности, вытекает основное тригонометрическое тождество:

sin²α + cos²α = 1 .

      Таким образом, основное тригонометрическое тождество является теоремой Пифагора, сформулированной с помощью тригонометрических функций.

      Итак, перечислим основные тригонометрические тождествa

sin²α + cos²α = 1

tgα * ctgα = 1

Вопросы к конспектам

Вычислите: ,  если tg α = 3

Упростите выражение: