Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

 Выведение основного уравнения МКТ

Вспом­ним ос­нов­ные све­де­ния про мо­дель иде­аль­но­го газа:

- мо­ле­ку­лы дви­жут­ся ха­о­ти­че­ски;

- ме­ха­низм дав­ле­ния иде­аль­но­го газа – это со­уда­ре­ние от­дель­ных мо­ле­кул со стен­ка­ми со­су­да.

Пусть иде­аль­ный газ на­хо­дит­ся в ци­лин­дри­че­ском со­су­де (см. Рис. 1). Опре­де­лим дав­ле­ние p этого газа на пор­шень.

Иде­аль­ный газ (мо­ле­ку­лы) в ци­лин­дри­че­ском со­су­де

Рис. 1. Иде­аль­ный газ (мо­ле­ку­лы) в ци­лин­дри­че­ском со­су­де

По опре­де­ле­нию дав­ле­ние – ве­ли­чи­на, рав­ная от­но­ше­нию силы (F), дей­ству­ю­щей пер­пен­ди­ку­ляр­но по­верх­но­сти, к пло­ща­ди этой по­верх­но­сти (S).

 

Вы­чис­лим силу (F), с ко­то­рой мо­ле­ку­лы дей­ству­ют на пор­шень:

1. Опре­де­лим силу удара одной мо­ле­ку­лы о стен­ку со­су­да.

Пусть мо­ле­ку­ла иде­аль­но­го газа мас­сой  дви­жет­ся в плос­ко­сти XOYсо ско­ро­стью  и, уда­рив­шись о пор­шень, от­ска­ки­ва­ет от него со ско­ро­стью  (см. Рис. 2). Со­глас­но вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на, сила, дей­ству­ю­щая на мо­ле­ку­лу со сто­ро­ны порш­ня во время удара, равна:

,

где a – уско­ре­ние мо­ле­ку­лы при ударе;   – из­ме­не­ние ско­ро­сти дви­же­ния мо­ле­ку­лы при ударе;  – про­дол­жи­тель­ность удара.

Столк­но­ве­ние мо­ле­ку­лы с порш­нем

Рис. 2. Столк­но­ве­ние мо­ле­ку­лы с порш­нем


Про­ек­ция ско­ро­сти на ось OY не из­ме­ня­ет­ся, по­это­му всё из­ме­не­ние ско­ро­сти  равно из­ме­не­нию ско­ро­сти вдоль оси X:

 

Так как:

 

 

То:

 

Со­глас­но тре­тье­му за­ко­ну Нью­то­на, сила, с ко­то­рой мо­ле­ку­ла дей­ству­ет на пор­шень, равна по мо­ду­лю силе , с ко­то­рой пор­шень дей­ству­ет на мо­ле­ку­лу. Сле­до­ва­тель­но:

 

2. Рас­счи­та­ем число мо­ле­кул N, уда­рив­ших­ся о пор­шень за ин­тер­вал .

За ин­тер­вал вре­ме­ни  до порш­ня успе­ют до­ле­теть толь­ко те мо­ле­ку­лы, ко­то­рые дви­жут­ся в на­прав­ле­нии порш­ня и уда­ле­ны от него на рас­сто­я­ние  (см. Рис. 3). То есть фак­ти­че­ски по­ло­ви­на числа мо­ле­кул, за­клю­чён­ных в ци­лин­дре объ­ё­мом . Сле­до­ва­тель­но, число мо­ле­кул, уда­рив­ших­ся о пор­шень за ин­тер­вал , равно:

 

 – общее число мо­ле­кул, ко­то­рое равно про­из­ве­де­нию кон­цен­тра­ции на объём:

 

 

Мо­ле­ку­лы, уда­рив­ши­е­ся о пор­шень за время

Рис. 3. Мо­ле­ку­лы, уда­рив­ши­е­ся о пор­шень за время 

3. Опре­де­лим общую силу уда­ров мо­ле­кул о пор­шень.

Эта сила будет равна про­из­ве­де­нию силы удара одной мо­ле­ку­лы на общее число уда­ров:

 

Мы живём в трёх­мер­ном мире, то есть любая мо­ле­ку­ла имеет про­ек­цию ско­ро­сти . Так как все мо­ле­ку­лы дви­га­ют­ся ха­о­тич­но, то на­прав­ле­ния их дви­же­ния рав­но­прав­ные, по­это­му можно на­пи­сать, что в сред­нем, для сред­ней квад­ра­тич­ной ско­ро­сти,  оди­на­ко­вые (). Сле­до­ва­тель­но, за­ме­ня­ем квад­рат про­ек­ции ско­ро­сти на сред­ний квад­рат про­ек­ции ско­ро­сти:

 

Под­став­ля­ем это зна­че­ние в фор­му­лу силы уда­ров мо­ле­кул о пор­шень:

 

Зна­че­ние дан­ной силы под­ста­вим в фор­му­лу дав­ле­ния:

 

ос­нов­ное урав­не­ние МКТ иде­аль­но­го газа – ос­нов­ное урав­не­ние МКТ иде­аль­но­го газа,

где мак­ро­па­ра­мет­ры ;

мик­ро­па­ра­мет­ры .

 Второй способ записи основного уравнения МКТ

Ос­нов­ное урав­не­ние МКТ можно за­пи­сать в дру­гом виде, в ко­то­ром дав­ле­ние свя­зы­ва­ет­ся не с мас­сой и ско­ро­стью мо­ле­ку­лы, а с их ком­би­на­ци­ей, то есть со сред­ней ки­не­ти­че­ской энер­ги­ей одной мо­ле­ку­лы.

Сред­нюю ки­не­ти­че­скую энер­гию по­сту­па­тель­но­го дви­же­ния мо­ле­кул газа можно рас­счи­тать по фор­му­ле:

Сред­нюю ки­не­ти­че­скую энер­гию по­сту­па­тель­но­го дви­же­ния мо­ле­кул газа можно рас­счи­тать по фор­му­ле 

Сле­до­ва­тель­но, ос­нов­ное урав­не­ние МКТ будет вы­гля­деть так:

дав­ле­ние иде­аль­но­го газа равно двум тре­тям сред­ней ки­не­ти­че­ской энер­гии по­сту­па­тель­но­го дви­же­ния мо­ле­кул, со­дер­жа­щих­ся в еди­ни­це объ­е­ма – дав­ле­ние иде­аль­но­го газа равно двум тре­тям сред­ней ки­не­ти­че­ской энер­гии по­сту­па­тель­но­го дви­же­ния мо­ле­кул, со­дер­жа­щих­ся в еди­ни­це объ­е­ма

Последнее изменение: Среда, 6 Июнь 2018, 18:38