Решение задач по динамике. Движение по горизонтали и вдоль наклонной плоскости
Введение
Мы продолжаем изучать динамику. Это раздел физики, который изучает причины механического движения.
Сегодня мы займемся решением задач на движение по горизонтали и вдоль наклонной плоскости. Как решать такие задачи?
У нас есть тело, которое находится на горизонтальной или наклонной плоскости. На него в любом случае действует сила тяжести и сила реакции опоры. Если поверхность не гладкая, на тело действует сила трения, направленная против направления движения. Тело могут тащить за нить, в таком случае на него будет действовать сила натяжения нити. Наличие той или иной силы зависит от условия задачи, но равнодействующая всех сил, действующих на тело, в общем случае вызывает ускорение тела, 
. Это следствие из второго закона Ньютона – главного инструмента решения задач по динамике.
Итак, мы разобрали, что происходит при движении тела вдоль плоскости, определили действующие на тело силы и описали процесс математически, применив второй закон Ньютона. На этом физика заканчивается, и остается математика.
Решать уравнения в векторной форме математически сложно, поэтому нужно переписать следствие из второго закона Ньютона в проекциях на оси координат.
Если плоскость наклонная, она ориентирована под определенным углом к горизонту, а значит, сила тяжести будет направлена под углом к плоскости, знаем мы этот угол или нет. Это делает важным выбор системы координат.
Мы свободны в выборе, результат не будет зависеть от выбора системы координат, но нужно выбрать такую, при которой математические преобразования будут максимально простыми. Мы увидим это на примере одной из задач.
И только теперь, когда получена система уравнений, описывающая физический процесс, мы решаем задачу математически: решаем уравнения и находим неизвестное.
Приступим к решению задач.
Задача 1
Камень, скользивший по горизонтальной поверхности льда, остановился, пройдя расстояние S =48 м. Найдите начальную скорость 
камня, если сила трения скольжения камня о лед составляет 0,06 силы нормального давления камня на лед.
Анализ условия:
- в задаче описано тело, которое движется под действием сил, значит, будем применять второй закон Ньютона;
- на камень действует сила тяжести, сила реакции опоры и сила трения. Отметим их (см. рис. 1).
Рис. 1. Действующие на камень силы
- сила трения равна 
;
- камень останавливается, движется с ускорением, которое по второму закону Ньютона вызвано равнодействующей силой;
-при равноускоренном движении тело проходит путь 
и приобретает скорость 
.
Решение
Выберем систему координат. Удобно направить ось х в направлении движения камня, а ось у перпендикулярно оси х (см. рис. 2).
Рис. 2. Выбор системы координат
Применим второй закон Ньютона:
Учитывая, что сила трения равна , запишем в проекциях на выбранные оси координат. Сила трения направлена против движения камня, туда же направлено и ускорение (камень замедляется) (см. рис. 3):
Рис. 3. Направление ускорения
За время остановки 
камень по условию задачи пройдет расстояние 
. Начальная скорость направлена в направлении оси х, ее проекция будет иметь знак «+», ускорение – против оси х, ставим знак «-»:
Тело остановится, то есть его скорость через время будет равна нулю:
Получили систему уравнений, которую остается решить и получить начальную скорость камня, равную 7,6 м/с:
Математическая часть решения задачи
|
Выразим из второго уравнения силу реакции опоры:
Подставим ее в первое уравнение:
Выразим из четвертого уравнения время Т:
Подставим его в третье уравнение:
Выразим скорость и подставим найденное выше ускорение:
|
Задача 2
Теперь решим задачу на движение вдоль наклонной плоскости.
Тело массы m без начальной скорости соскальзывает с наклонной плоскости с углом 
с высоты h (см. рис. 4).
Рис. 4. Рисунок к условию задачи 2
Коэффициент трения тела о поверхность равен 
. За какое время тело достигнет подножья?
Анализ условия
- Задан прямоугольный треугольник, в котором известна одна сторона и угол. Значит, известны все стороны, и определен путь, который проходит тело.
- На тело действуют сила тяжести, сила реакции опоры и сила трения (см. рис. 5).
Рис. 5. Силы, которые действуют на тело
Равнодействующая этих сил создает ускорение – будем применять второй закон Ньютона.
- В задаче нужно найти время движения тела, которое движется с ускорением, равноускоренное движение описывается уравнениями кинематики.
Решение
Выберем систему координат. Здесь есть своя особенность: движение бруска происходит вдоль наклонной плоскости, сила трения направлена противоположно направлению движения, сила реакции опоры перпендикулярна плоскости, а сила тяжести направлена под углом к плоскости. Нам особенно важно выбрать удобную систему координат. Для математических расчетов удобно направить оси координат, как показано на рисунке: ось х вдоль в направлении движения бруска, ось у перпендикулярно поверхности (см. рис. 6).
Рис. 6. Выбор системы координат
Применим второй закон Ньютона:
Учитывая, что сила трения равна 
, запишем в проекциях на выбранные оси координат.
Сила тяжести направлена под углом к обеим осям координат. Треугольники АВС и авс подобны, и угол равен углу cab. Следовательно, проекция силы тяжести на ось х равна 
, на ось у – 
(см. рис. 7).
Рис. 7. Проекции сил на оси координат
Тогда:
Нахождение проекций силы тяжести
|
Чтобы найти проекцию силы на координатную ось, нужно знать угол, под которым она направлена к оси. Расположим вектор силы тяжести на рисунке (см. рис. 8).
Рис. 8. Вектор силы тяжести Если его продолжить, получим прямоугольный треугольник
Рис. 9. Определение углов Тогда
Рис. 10. Равенство углов Таким образом, нам нужно, используя знания по геометрии, определить, где в треугольниках, образованных проекциями, находится заданный угол наклона плоскости |
. Угол 
. В треугольнике 
, тоже прямоугольном, т. к. 
– проекция 
, угол 
(см. рис. 9).
. В 
– проекция 
, т. к. 
, 
(см. рис. 10).
Тело проходит путь АВ, равный из треугольника АВС 
. Путь, пройденный телом при равноускоренном движении без начальной скорости, равен:
Получили систему уравнений, из которой остается найти время:
Математическая часть решения задачи
|
Из первого уравнения получим N:
Подставим во второе и выразим ускорение:
Из третьего уравнения, подставив ускорение, выразим время:
|
Выбор системы координат
|
При решении задачи мы направили оси координат (см. рис. 6) и получили следующую систему уравнений:
Система координат – это наш выбор, и решение задачи от ее выбора не зависит. Для этой же задачи направим оси координат по-другому (см. рис. 11).
Рис. 11. Выбор системы координат Запишем уравнения в проекциях на оси координат в данной системе:
Формулу для перемещения при равноускоренном движении также запишем в проекциях на выбранные оси:
Как видите, уравнения получились более сложными, но, решив их, вы убедитесь, что результат получится тот же, что при другом выборе системы координат. Рекомендую вам проделать это самостоятельно. |
Задача 3
На наклонной плоскости с углом наклона 300 покоится брусок с привязанной нитью. При какой минимальной силе натяжения нити брусок сдвинется с места, если потянуть за нить вниз так, что она будет параллельна плоскости? Масса бруска – 0,5 кг, коэффициент трения скольжения бруска о плоскость равен 0,7, ускорение свободного падения принять равным 10 м/с2.
Анализ условия
- В задаче описано тело, на которое действуют сила тяжести, сила реакции опоры, сила трения и сила натяжения нити (см. рис. 12).
Рис. 12. Действие сил на тело
- Тело стаскивают вниз, сила трения направлена против возможного направления движения.
- По условию задачи при некотором минимальном значении силы натяжения нити брусок сдвигается с места, брусок не будет разгоняться, ускорение равно нулю. Будем применять второй закон Ньютона, ускорение равно 0.
Решение
Выберем систему координат. Мы уже убедились на примере предыдущей задачи, что удобно направить ось х параллельно плоскости (см. рис. 13), а ось у – перпендикулярно плоскости.
Рис. 13. Выбор системы координат
По второму закону Ньютона сумма сил, действующих на брусок, равна 
, в нашем случае 
:
Учитывая, что сила трения равна , запишем в проекциях на выбранные оси координат:
Получили систему уравнений, решив которую, найдем минимальное значение 
.
Математическая часть решения задачи
|
Выразим из первого уравнения силу реакции опоры:
Подставим ее во второе уравнение и выразим Т:
Вычислим:
|
Как видите, задачи на движение тел вдоль наклонной плоскости, как и большинство других задач по динамике, сводятся к применению законов Ньютона в выбранной удобной системе координат.