Гравитационное взаимодействие. Закон всемирного тяготения

 Введение

Из за­ко­нов ди­на­ми­ки нам хо­ро­шо из­вест­но, что для того, чтобы тело дви­га­лось уско­рен­но, на него долж­на дей­ство­вать сила, как в дан­ном при­ме­ре с ав­то­мо­би­лем на рис. 1. Рав­но­дей­ству­ю­щая на­прав­ле­на таким об­ра­зом, что ма­ши­на уско­ря­ет­ся.

Ил­лю­стра­ция дей­ствий сил на тело

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция дей­ствий сил на тело

В то же время мы хо­ро­шо знаем, что земля со­об­ща­ет оди­на­ко­вое уско­ре­ние любым па­да­ю­щим на нее телам. Эту силу, с ко­то­рой дей­ству­ет земля на па­да­ю­щие тела, мы тра­ди­ци­он­но на­зы­ва­ем сила тя­же­сти. На рис. 2 про­ил­лю­стри­ро­ва­но дей­ствие силы тя­же­сти.

Ил­лю­стра­ция дей­ствия силы тя­же­сти

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция дей­ствия силы тя­же­сти

В конце XVII века Исаак Нью­тон, ко­то­ро­му на тот мо­мент было всего 22 года, пред­по­ло­жил, что свой­ство при­тя­ги­вать тела ха­рак­тер­но не толь­ко для земли, но и для любых тел, об­ла­да­ю­щих мас­са­ми (ри­су­нок. 3). Такую силу он на­звал силой все­мир­но­го тя­го­те­ния,а вза­и­мо­дей­ствие, от­вет­ствен­ное за по­яв­ле­ние этой силы, было на­зва­но гра­ви­та­ци­он­ным (от ла­тин­ско­го gravitas – «тя­жесть»).

Вза­и­мо­дей­ствие двух тел об­ла­да­ю­щих мас­сой

Рис. 3. Вза­и­мо­дей­ствие двух тел об­ла­да­ю­щих мас­сой

 Формулировка закона

Закон все­мир­но­го тя­го­те­ния поз­во­ля­ет опи­сы­вать не толь­ко па­де­ние тел на землю, но и дви­же­ние пла­нет, звезд, при­ли­вы, от­ли­вы и мно­же­ство дру­гих уни­вер­саль­ных яв­ле­ний, ко­то­рые про­те­ка­ют в при­ро­де. По­про­бу­ем вос­ста­но­вить ход рас­суж­де­ний Нью­то­на, а он по­лу­чил ма­те­ма­ти­че­скую фор­му­лу, опи­сы­вая дви­же­ние Луны во­круг Земли, и тоже по­лу­чить закон все­мир­но­го тя­го­те­ния.

Если Земля со­об­ща­ет лю­бо­му телу, на­хо­дя­ще­му­ся на ее по­верх­но­сти, уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния g, ко­то­рое, как мы знаем, по мо­ду­лю равно g = 9,8 , то Луне при­тя­же­ние Земли со­об­ща­ет цен­тро­стре­ми­тель­ное уско­ре­ние. За­пи­шем неко­то­рые ха­рак­те­ри­сти­ки.

Ра­ди­ус Земли (он нам по­на­до­бит­ся в рас­че­тах) R= 6370 км, ор­би­ты Луны RЛ = 384000 км, пе­ри­од об­ра­ще­ния Луны во­круг Земли, так на­зы­ва­е­мый лун­ный месяц Т = 27,3 суток.

Вос­поль­зу­ем­ся этими дан­ны­ми и рас­суж­де­ни­я­ми для даль­ней­ших вы­во­дов.

Нью­тон пред­по­ло­жил, что сила, с ко­то­рой Земля при­тя­ги­ва­ет те или иные объ­ек­ты, за­ви­сит от рас­сто­я­ния между объ­ек­том и цен­тром Земли. Из­вест­но, что рас­сто­я­ние от Луны до цен­тра Земли при­мер­но в 60 раз боль­ше чем ра­ди­ус Земли, т. е. рас­сто­я­ние от лю­бо­го тела на­хо­дя­ще­го­ся на по­верх­но­сти Земли.

А во сколь­ко же раз от­ли­ча­ет­ся уско­ре­ние, при­об­ре­та­е­мое те­ла­ми в ре­зуль­та­те та­ко­го при­тя­же­ния? Для на­ча­ла рас­счи­та­ем уско­ре­ние, ко­то­рое при­об­ре­та­ет Луна в ре­зуль­та­те сво­е­го при­тя­же­ния Зем­лей. Уско­ре­ние, ко­то­рым об­ла­да­ет любое тело, на­хо­дя­ще­е­ся на по­верх­но­сти Земли, вы и так хо­ро­шо зна­е­те, это уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния.

Пе­ре­хо­дим к рас­че­там. Цен­тро­стре­ми­тель­ное уско­ре­ние Луны, вы­зван­ное при­тя­же­ни­ем Земли, может быть рас­счи­та­но по фор­му­ле:

Уг­ло­вая ско­рость нам не из­вест­на, но мы пре­крас­но знаем, что уг­ло­вая ско­рость свя­за­на с пе­ри­о­дом вра­ще­ния таким со­от­но­ше­ни­ем:

По­лу­чим:

Само по себе это зна­че­ние может ни­че­го нам не го­во­рить, но срав­ним его с ве­ли­чи­ной уско­ре­ния сво­бод­но­го па­де­ния g = 9,8  и тоже вы­зван­ной зем­ным при­тя­же­ни­ем. Итак, на­хо­дим от­но­ше­ние:

По­че­му вы­де­ля­ем имен­но 602? Дело в том, что Луна по от­но­ше­нию к по­верх­но­сти Земли рас­по­ло­же­на как раз на рас­сто­я­нии при­бли­зи­тель­но в 60 раз боль­ше, чем сам ра­ди­ус Земли.

На тот мо­мент из ис­сле­до­ва­ний Га­ли­лео Га­ли­лея было хо­ро­шо из­вест­но, что уско­ре­ние, при­об­ре­та­е­мое те­ла­ми в ре­зуль­та­те при­тя­же­ния Зем­лей, не за­ви­сит от их массы, т. е. если яб­ло­ко у по­верх­но­сти Земли об­ла­да­ет уско­ре­ни­ем 9,8, вы­зван­ным зем­ным при­тя­же­ни­ем:

то, по­ме­щен­ное на ор­би­ту Луны, оно будет об­ла­дать точно таким же уско­ре­ни­ем, как и Луна, т. е. в 3600 раз мень­шим, чем уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния у по­верх­но­сти Земли:

Ис­хо­дя из наших рас­че­тов, мы с вами по­лу­ча­ем, что сила, с ко­то­рой Земля при­тя­ги­ва­ет Луну, об­рат­но про­пор­ци­о­наль­на квад­ра­ту рас­сто­я­ния между цен­тра­ми этих объ­ек­тов:

Кроме этого, из вто­ро­го за­ко­на Нью­то­на мы знаем, что сила прямо про­пор­ци­о­наль­на массе объ­ек­та. Т. е. в дан­ном слу­чае сила прямо про­пор­ци­о­наль­на массе Луны или дру­го­го небес­но­го тела:

Из тре­тье­го за­ко­на Нью­то­на мы знаем, что сила дей­ствия вы­зы­ва­ет ана­ло­гич­ное про­ти­во­дей­ствие, на­прав­лен­ное в про­ти­во­по­лож­ную сто­ро­ну, зна­чит, сила вза­и­мо­дей­ствия между Зем­лей и Луной будет про­пор­ци­о­наль­на не толь­ко массе Луны, но и массе Земли тоже:

Объ­еди­няя все это в одну про­пор­ци­о­наль­ность, мы можем по­лу­чить, что сила, с ко­то­рой вза­и­мо­дей­ству­ют Земля и Луна, про­пор­ци­о­наль­на про­из­ве­де­нию их масс и об­рат­но про­пор­ци­о­наль­на квад­ра­ту рас­сто­я­ния между ними:

А если обоб­щать и го­во­рить не толь­ко о Земле и Луне, то за­пи­шем ана­ло­гич­ную про­пор­ци­о­наль­ность, но уже для двух про­из­воль­ных масс. Итак, сила вза­и­мо­дей­ствия между ними про­пор­ци­о­наль­на про­из­ве­де­нию этих масс и об­рат­но про­пор­ци­о­наль­на квад­ра­ту рас­сто­я­ния между этими те­ла­ми:

Если же пе­рей­ти к стро­го­му ра­вен­ству, то мы по­лу­ча­ем ту самую фор­му­ли­ров­ку, ко­то­рая впер­вые по­яви­лась в зна­ме­ни­том труде Нью­то­на «Ма­те­ма­ти­че­ские на­ча­ла на­ту­раль­ной фи­ло­со­фии» (1687) и носит на­зва­ние за­ко­на все­мир­но­го тя­го­те­ния.

Фор­му­ли­ров­ка

Закон все­мир­но­го тя­го­те­ния: тела при­тя­ги­ва­ют­ся друг к другу с силой, мо­дуль ко­то­рой про­пор­ци­о­на­лен про­из­ве­де­нию их масс и об­рат­но про­пор­ци­о­на­лен квад­ра­ту рас­сто­я­ния между ними. Сила на­прав­ле­на вдоль пря­мой, со­еди­ня­ю­щей цен­тры тел.

Ма­те­ма­ти­че­ская за­пись этой фор­му­лы

 

Как Луна вли­я­ет на Землю

Несмот­ря на то, что Луна рас­по­ло­же­на от Земли до­ста­точ­но да­ле­ко, рас­сто­я­ние со­став­ля­ет по­ряд­ка 400 000 км, ее вли­я­ние на Землю все-та­ки весь­ма ощу­ти­мо. Итак, по­го­во­рим о том, как Луна вли­я­ет на вес тел, на­хо­дя­щих­ся на Земле. Сразу ого­во­рим­ся: мы не будем учи­ты­вать вли­я­ние Солн­ца и дру­гих небес­ных тел, так как оно по срав­не­нию с вли­я­ни­ем Луны зна­чи­тель­но мень­ше.

Мы не будем сей­час вда­вать­ся в де­таль­ные по­дроб­но­сти того, как мы по­лу­чи­ли те дан­ные, о ко­то­рых сей­час по­го­во­рим, а оста­но­вим­ся лишь на ре­зуль­та­те. Если под­счи­тать, вос­поль­зо­вав­шись за­ко­ном все­мир­но­го тя­го­те­ния, вли­я­ние Луны на вес тел на Земле, то ока­жет­ся что в наи­бо­лее близ­кой к Луне и в наи­бо­лее уда­лен­ной от Луны точ­ках зем­ной по­верх­но­сти вес тела несколь­ко умень­ша­ет­ся, а в точке, ле­жа­щей на сред­ней линии, вес тела немно­го уве­ли­чи­ва­ет­ся. При этом из­ме­не­ние веса, по­ка­зан­ное на ри­сун­ке 4 крас­ным цве­том, в два раза мень­ше, чем из­ме­не­ние веса, по­ка­зан­ное на ри­сун­ке 5 также крас­ным цве­том, для точек наи­бо­лее близ­кой и наи­бо­лее уда­лен­ной.

Из­ме­не­ние веса в за­ви­си­мо­сти от рас­сто­я­ния до Луны

Рис. 4. Из­ме­не­ние веса в за­ви­си­мо­сти от рас­сто­я­ния до Луны

Из­ме­не­ние веса в за­ви­си­мо­сти от рас­сто­я­ния до Луны

Рис. 5. Из­ме­не­ние веса в за­ви­си­мо­сти от рас­сто­я­ния до Луны

Если бы Луны во­об­ще не было на зем­ной ор­би­те, то вес тела умень­шил­ся бы со­вер­шен­но незна­чи­тель­но. Если пе­рей­ти от нью­то­нов к еди­ни­цам уско­ре­ния , то эта ве­ли­чи­на со­став­ля­ла бы всего лишь 0,0001 . По срав­не­нию, на­при­мер, с уско­ре­ни­ем сво­бод­но­го па­де­ния 10  (мы здесь его округ­ли­ли от 9,8 до 10), вы ви­ди­те, что раз­ни­ца со­став­ля­ет по­ряд­ка одной сто­мил­ли­он­ной доли. Немно­го? Да, немно­го, но если срав­ни­вать с ра­ди­у­сом Земли те из­ме­не­ния, ко­то­рые при­вно­сит такое неболь­шое из­ме­ре­ние уско­ре­ния в ре­зуль­та­те от­сут­ствия Луны, то мы по­лу­чим, что Rз = 6400 км. И эти сто­мил­ли­он­ные доли из­ме­не­ния при­во­дят к тому, что вы­со­та уров­ня воды в точ­ках, по­ка­зан­ных на рис. 4, под­ни­ма­ет­ся на 54 см, в точ­ках, по­ка­зан­ных на рис. 5, она па­да­ет на 27 см (см. рис. 3).

Речь идет о яв­ле­нии при­ли­вов и от­ли­вов. Имен­но Луна опре­де­ля­ет на­ли­чие при­ли­вов и от­ли­вов на Земле.

Бла­го­да­ря вра­ще­нию Земли места подъ­емов и опус­ка­ний уров­ня воды по­сто­ян­но пе­ре­ме­ща­ют­ся. Имен­но такие по­сто­ян­ные пе­ре­ме­ще­ния мы и ощу­ща­ем в виде при­ли­вов и от­ли­вов. Ко­неч­но же, при­ли­вы и от­ли­вы за­ви­сят и от гео­гра­фи­че­ско­го места на Земле, на­при­мер, на Чер­ном море или на Кас­пий­ском море при­ли­вы прак­ти­че­ски не на­блю­да­ют­ся, од­на­ко в Охот­ском море есть бухта, в ко­то­рой вы­со­та при­лив­ных волн до­сти­га­ет несколь­ких мет­ров.

Еще одно ин­те­рес­ное вли­я­ние Луны на Землю – в ре­зуль­та­те при­ли­вов и от­ли­вов, волна, ко­то­рая бежит вдоль земли трет­ся о по­верх­ность земли и, зна­чит, несколь­ко за­мед­ля­ет вра­ще­ние Земли. Ин­те­рес­но, что тот факт, что мы все­гда видим Луну по­вер­ну­той к нам одним боком, тоже пред­опре­де­лил те­перь уже вли­я­ние Земли на Луну.

 Границы применимости

А сей­час по­го­во­рим об огра­ни­че­ни­ях, о гра­ни­цах при­ме­ни­мо­сти той фор­му­ли­ров­ки за­ко­на все­мир­но­го тя­го­те­ния, ко­то­рую мы за­пи­са­ли. В каких слу­ча­ях он спра­вед­лив? К при­ме­ру, есть два тела А и В. Они, со­глас­но за­ко­ну все­мир­но­го тя­го­те­ния, при­тя­ги­ва­ют­ся друг к другу. Если эти тела при­тя­ги­ва­ют­ся и, на­при­мер, на­хо­дят­ся на рас­сто­я­нии, по­ка­зан­ном на ри­сун­ке 6, то какую ве­ли­чи­ну брать в ка­че­стве r (рас­сто­я­ния между ними) – либо самое ма­лень­кое между ними, либо рас­сто­я­ние между наи­бо­лее даль­ни­ми кра­я­ми, или же рас­сто­я­ние между се­ре­дин­ка­ми? А где взять эту се­ре­дин­ку? Итак, воз­ни­ка­ет во­прос: при­ме­ни­ма ли фор­му­ла за­ко­на все­мир­но­го тя­го­те­ния для тел непра­виль­ной формы, на­хо­дя­щих­ся на таком рас­сто­я­нии друг от друга?

По­ло­же­ние тел А и В

Рис. 6. По­ло­же­ние тел А и В

Ответ мы можем по­лу­чить, для этого уве­ли­чим рас­сто­я­ние между те­ла­ми. Когда мы их раз­нес­ли до­ста­точ­но да­ле­ко друг от друга, нужно ли учи­ты­вать их раз­ме­ры? Нет, ведь их раз­ме­ры по срав­не­нию с рас­сто­я­ни­ем между ними очень малы, по­это­му в дан­ном слу­чаи мы их можем по­ла­гать ма­те­ри­аль­ны­ми точ­ка­ми. Итак, пер­вое огра­ни­че­ние:

1. Закон все­мир­но­го тя­го­те­ния при­ме­ним для тел, раз­ме­ры ко­то­рых несу­ще­ствен­ны по срав­не­нию с рас­сто­я­ни­ем между ними. Такие тела мы на­зы­ва­ем ма­те­ри­аль­ны­ми точ­ка­ми. Это пер­вое усло­вие.

Од­на­ко есть си­ту­а­ции, когда можно рас­смат­ри­вать тела, об­ла­да­ю­щие ре­аль­ны­ми раз­ме­ра­ми и на­хо­дя­щи­е­ся на неболь­шом рас­сто­я­нии друг от друга. Это тела при­мер­но такой формы, как по­ка­за­но на ри­сун­ке 7.

По­ло­же­ние тел сфе­ри­че­ской формы

Рис. 7. По­ло­же­ние тел сфе­ри­че­ской формы

Пред­ставь­те себе, что это иде­аль­ные сферы. Если тела, об­ла­да­ю­щие сфе­ри­че­ской фор­мой, или, го­во­рят, сфе­ри­че­ской сим­мет­ри­ей, на­хо­дят­ся даже на неболь­шом рас­сто­я­нии друг от друга, мы можем поль­зо­вать­ся фор­му­лой за­ко­на все­мир­но­го тя­го­те­ния в ка­че­стве рас­сто­я­ния r. В этом слу­чае мы берем рас­сто­я­ние между цен­тра­ми тел, имен­но в такой форме мы поль­зу­ем­ся за­ко­ном все­мир­но­го тя­го­те­ния, когда рас­смат­ри­ва­ем наше при­тя­же­ние к цен­тру Земли.

Вто­рое усло­вие, при ко­то­ром можно при­ме­нять закон все­мир­но­го тя­го­те­ния в той форме, ко­то­рую мы за­пи­са­ли:

2. Тела долж­ны об­ла­дать сфе­ри­че­ской сим­мет­ри­ей.

 Гравитационная постоянная

Поняв, в каких слу­ча­ях можно при­ме­нять фор­му­лу для за­ко­на все­мир­но­го тя­го­те­ния, вер­нем­ся к ве­ли­чине G (ко­эф­фи­ци­ен­ту про­пор­ци­о­наль­но­сти): 

Эта ве­ли­чи­на носит на­зва­ние гра­ви­та­ци­он­ной по­сто­ян­ной. Вы­яс­ним какой смысл у гра­ви­та­ци­он­ной по­сто­ян­ной G. За­пи­шем еще раз закон все­мир­но­го тя­го­те­ния:

От­сю­да неслож­но по­лу­чить, что гра­ви­та­ци­он­ная по­сто­ян­ная G может быть вы­чис­ле­на по фор­му­ле:

Итак, от­сю­да мы по­лу­ча­ем фи­зи­че­ский смысл гра­ви­та­ци­он­ной по­сто­ян­ной. В самом деле, если мы возь­мем две ма­те­ри­аль­ные точки, рас­по­ло­жен­ные на рас­сто­я­нии 1 м друг от друга, а масса этих ма­те­ри­аль­ных точек равна 1 кг, то гра­ви­та­ци­он­ная по­сто­ян­ная будет чис­лен­но равна силе, с ко­то­рой при­тя­ги­ва­ют­ся эти две точки. Фи­зи­че­ский смысл гра­ви­та­ци­он­ной по­сто­ян­ной: она чис­лен­но равна силе, с ко­то­рой мыс­лен­но при­тя­ги­ва­ют­ся две ма­те­ри­аль­ные точки мас­са­ми по 1 кг, рас­по­ло­жен­ные в ва­ку­у­ме на рас­сто­я­нии 1 м друг от друга.

По­го­во­рим о том, как вы­чис­лить гра­ви­та­ци­он­ную по­сто­ян­ную. Из курса фи­зи­ки 9 клас­са вы зна­е­те, что эта же фор­му­ла для гра­ви­та­ци­он­ной по­сто­ян­ной для за­ко­на все­мир­но­го тя­го­те­ния в слу­чае при­тя­же­ния к Земле может быть за­ме­не­на фор­му­лой для силы тя­же­сти:

Где м – это масса тела, а g – уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния. От­сю­да неслож­но по­лу­чить фо­му­лу для гра­ви­та­ци­он­ной по­сто­ян­ной:

Можно оце­нить гра­ви­та­ци­он­ную по­сто­ян­ную. По­лу­чи­лось сле­ду­ю­щее зна­че­ние гра­ви­та­ци­он­ной по­сто­ян­ной:

Эта ве­ли­чи­на и носит на­зва­ние гра­ви­та­ци­он­ной по­сто­ян­ной и яв­ля­ет­ся так на­зы­ва­е­мой уни­вер­саль­ной фи­зи­че­ской по­сто­ян­ной, т. е. оди­на­ко­вой в любой точке Все­лен­ной.

 

Мо­дель­ное пред­став­ле­ние опыта Ка­вен­ди­ша

Ве­ли­чи­ну гра­ви­та­ци­он­но­го вза­и­мо­дей­ствия опре­де­ля­ет ве­ли­чи­на гра­ви­та­ци­он­ной по­сто­ян­ной, одной из фун­да­мен­таль­ных фи­зи­че­ских кон­стант. Она со­став­ля­ет:

Как ви­ди­те, это срав­ни­тель­но неболь­шая, даже ма­лень­кая ве­ли­чи­на. Как же ее из­ме­рить? Впер­вые она была из­ме­ре­на несколь­ко сотен лет назад ан­глий­ским уче­ным Генри Ка­вен­ди­шем. Если го­во­рить об этом че­ло­ве­ке, то он был нети­пич­ным уче­ным, он за­дол­го до Ку­ло­на опре­де­лил закон вза­и­мо­дей­ствия элек­три­че­ских за­ря­дов, пер­вым в ис­то­рии науки опре­де­лил сред­нюю плот­ность Земли с до­ста­точ­но боль­шой точ­но­стью. Од­на­ко он прак­ти­че­ски не за­ни­мал­ся пуб­ли­ка­ци­ей своих от­кры­тий, они стали из­вест­ны уже после его смер­ти.

Для опре­де­ле­ния гра­ви­та­ци­он­ной по­сто­ян­ной Ка­вен­диш скон­стру­и­ро­вал так на­зы­ва­е­мые кру­тиль­ные весы, прин­ци­пи­аль­ная схема ко­то­рых по­ка­за­на на ри­сун­ке 8.

Прин­ци­пи­аль­ная схема кру­тиль­ных весов

Рис. 8. Прин­ци­пи­аль­ная схема кру­тиль­ных весов

Об­ра­ти­те вни­ма­ние: на де­ре­вян­ном ко­ро­мыс­ле под­ве­ше­ны срав­ни­тель­но неболь­шие свин­цо­вые шары оди­на­ко­вой массы. Само де­ре­вян­ное ко­ро­мыс­ло под­ве­ше­но на тон­чай­шей по­се­реб­рен­ной мед­ной про­во­лоч­ке дли­ной по­ряд­ка 1 м. Если к этим шарам под­но­сить мас­сив­ные также свин­цо­вые шары, то вслед­ствие гра­ви­та­ци­он­но­го при­тя­же­ния нить будет немно­го за­кру­чи­вать­ся и ша­ри­ки массы m будут при­тя­ги­вать­ся к ша­ри­кам массы М. В ка­кой-то мо­мент сила гра­ви­та­ци­он­но­го вза­и­мо­дей­ствия урав­но­ве­сит­ся с силой упру­го­сти за­кру­чен­ной нити и си­сте­ма при­дет в рав­но­ве­сие. Срав­ни­вая эти две силы, Ка­вен­диш и опре­де­лял гра­ви­та­ци­он­ную по­сто­ян­ную.

Вы по­ни­ма­е­те, что зна­че­ние гра­ви­та­ци­он­ной по­сто­ян­ной очень мало, по­это­му углы на ко­то­рые от­кло­ня­лась нить также очень малы, он их ре­ги­стри­ро­вал при по­мо­щи слож­ных оп­ти­че­ских при­бо­ров. Также для того, чтобы из­бе­жать кон­век­ци­он­ных по­то­ков, т. е. вли­я­ния по­то­ков воз­ду­ха, вся си­сте­ма была по­ме­ще­на в воз­душ­ный кол­пак, по­ка­зан­ный на ри­сун­ке 9.

Воз­душ­ный кол­пак

Рис. 9. Воз­душ­ный кол­пак

Ин­те­рес­но, что Ка­вен­диш в своих опы­тах не из­ме­рял на­пря­мую зна­че­ние гра­ви­та­ци­он­ной по­сто­ян­ной, он ста­вил своей целью как раз опре­де­лить зна­че­ние сред­ней плот­но­сти Земли, и он опре­де­ли­ли его как:

Тогда эта ве­ли­чи­на была неиз­вест­на, и он ска­зал, что плот­ность Земли в 5,48 раз боль­ше, чем плот­ность воды. Со­вре­мен­ное зна­че­ние плот­но­сти, из­ме­рен­ное более точ­ны­ми при­бо­ра­ми, со­став­ля­ет:

От­ли­чие всего в 0,04, менее чем в 1 %. На­столь­ко точно несколь­ко сотен лет назад уче­но­му уда­лось по­ста­вить экс­пе­ри­мент. Какой вывод сде­лал Ка­вен­диш из зна­че­ния, ко­то­рое он по­лу­чил? Дело в том, что сред­няя плот­ность по­верх­ност­ных слоев Земли со­став­ля­ет по­ряд­ка:

От­сю­да вывод: раз сред­няя плот­ность зна­чи­тель­но выше, зна­чит где-то в глу­бине Земли, глу­бо­ко, на­хо­дят­ся плот­ные по­ро­ды, на­при­мер же­ле­зо или ка­кие-то дру­гие плот­ные ме­тал­лы.

Сама гра­ви­та­ци­он­ная по­сто­ян­ная, по всей ви­ди­мо­сти, впер­вые в науку была вве­де­на фран­цуз­ским уче­ным Пуас­со­ном в трак­та­те по ме­ха­ни­ке в 1811 году, и вы­чис­лил он ее как раз из ре­зуль­та­тов опыта Генри Ка­вен­ди­ша.

 Выводы

Под­во­дим итоги.

1. Вза­и­мо­дей­ствие, свой­ствен­ное всем телам во Все­лен­ной и про­яв­ля­ю­ще­е­ся в их вза­им­ном при­тя­же­нии друг к другу, на­зы­ва­ют гра­ви­та­ци­он­ным, а само яв­ле­ние – все­мир­ным тя­го­те­ни­ем или гра­ви­та­ци­ей.

2. Закон все­мир­но­го тя­го­те­ния имеет сле­ду­ю­щий вид:

Сила вза­и­мо­дей­ствия между двумя те­ла­ми мас­са­ми , на­хо­дя­щи­ми­ся на рас­сто­я­нии  друг от друга, прямо про­пор­ци­о­наль­но про­из­ве­де­нию масс этих тел и об­рат­но про­пор­ци­о­наль­но квад­ра­ту рас­сто­я­ния между ними.

На­прав­ле­ние силы вдоль пря­мой, со­еди­ня­ю­щей цен­тры тел, пред­став­ле­но на ри­сун­ке 10.

На­прав­ле­ние силы вдоль пря­мой, со­еди­ня­ю­щей цен­тры тел

Рис. 10. На­прав­ле­ние силы вдоль пря­мой, со­еди­ня­ю­щей цен­тры тел

3. Спра­вед­лив этот закон в таком виде для:

а) если тела можно по­ло­жить ма­те­ри­аль­ны­ми точ­ка­ми, т. е. их раз­ме­ра­ми можно пре­не­бречь по срав­не­нию с рас­сто­я­ни­ем между те­ла­ми;

б) если тела об­ла­да­ют сфе­ри­че­ской сим­мет­ри­ей.

На­пом­ним, что мы с вами за­пи­са­ли и по­ня­ли, чему равна гра­ви­та­ци­он­ная по­сто­ян­ная и об­су­ди­ли ее уни­вер­саль­ный ха­рак­тер:

Имен­но гра­ви­та­ци­он­ное вза­и­мо­дей­ствие как одно из че­ты­рех уни­вер­саль­ных фи­зи­че­ских вза­и­мо­дей­ствий яв­ля­ет­ся наи­бо­лее от­вет­ствен­ным за дви­же­ние круп­ных небес­ных тел – пла­нет, звезд, целых га­лак­тик.

 

За­ко­ны дви­же­ние небес­ных тел (за­ко­ны Кепле­ра)

Вам хо­ро­шо из­вест­но, что к по­яв­ле­нию за­ко­нов все­мир­но­го тя­го­те­ния при­ве­ло на­блю­де­ние за те­ла­ми кос­ми­че­ских мас­шта­бов, за пла­не­та­ми, за солн­цем, за ко­ме­та­ми, за ме­тео­ри­та­ми и т. д. Имен­но о том, какие за­ко­но­мер­но­сти по­яви­лись при на­блю­де­нии за та­ки­ми те­ла­ми, мы и по­го­во­рим, а точ­нее, мы по­го­во­рим о за­ко­нах, ко­то­рые впер­вые по­лу­чил Иоганн Кеплер. На ос­но­ва­ни­ях на­блю­де­ний сво­е­го учи­те­ля, дат­ско­го аст­ро­но­ма Тихо Браге, и соб­ствен­ных на­блю­де­ний он про­вел огром­ную ана­ли­ти­че­скую ра­бо­ту и по­лу­чил три за­ко­на дви­же­ния кос­ми­че­ских тел. Имен­но из этих за­ко­нов и бла­го­да­ря этим за­ко­нам в свое время Нью­тон и по­лу­чил закон все­мир­но­го тя­го­те­ния.

Пер­вый закон Кепле­ра: все пла­не­ты Сол­неч­ной си­сте­мы дви­жут­ся по эл­лип­ти­че­ским ор­би­там, в одном из фо­ку­сов эл­лип­са на­хо­дит­ся Солн­це.

Эл­липс – это одна из гео­мет­ри­че­ских фигур, услов­но его можно пред­ста­вить ка вы­тя­ну­тую окруж­ность. Об­ра­ти­те вни­ма­ние на ил­лю­стра­цию (рис. 10) пер­во­го за­ко­на Кепле­ра. В одном из фо­ку­сов эл­лип­са на­хо­дит­ся Солн­це, об­ра­ти­те вни­ма­ние на рас­по­ло­же­ние нашей пла­не­ты, наи­бо­лее ближ­няя к солн­цу точка на­зы­ва­ет­ся пе­ри­ге­лий, она обо­зна­че­на бук­вой Р, наи­бо­лее да­ле­кая точка на­зы­ва­ет­ся афе­лий, это точка А. Рас­сто­я­ние a, по­ка­зан­ное на ри­сун­ке 11, на­зы­ва­ет­ся по­лу­ось.

Ил­лю­стра­ция пер­во­го за­ко­на Кепле­ра

Рис. 11. Ил­лю­стра­ция пер­во­го за­ко­на Кепле­ра

Воз­мож­но, вам слож­но пред­ста­вить, что такое эл­липс или его фокус, вас дол­жен успо­ка­и­вать тот факт, что в ре­аль­но­сти ор­би­ты, по ко­то­рым вра­ща­ют­ся пла­не­ты во­круг Солн­ца, прак­ти­че­ски неот­ли­чи­мы от кру­го­вых, круг – это част­ный слу­чай эл­лип­са. Един­ствен­ная пла­не­та, у ко­то­рой эл­лип­со­и­даль­ная тра­ек­то­рия, – это Плу­тон, но со­всем недав­но Плу­тон был вы­не­сен из спис­ка пла­нет, и он яв­ля­ет­ся, по со­вре­мен­ной аст­ро­но­ми­че­ской клас­си­фи­ка­ции, небес­ным телом. Итак, тра­ек­то­рия дви­же­ния прак­ти­че­ски всех пла­нет Сол­неч­ной си­сте­мы – это окруж­ность.

Вто­рой закон Кепле­ра: ра­ди­ус-век­тор пла­не­ты, пла­не­та дви­жет­ся по тра­ек­то­рии (внеш­няя окруж­ность) ко­то­рая по­ка­за­на на ри­сун­ке 12, и за оди­на­ко­вые про­ме­жут­ки вре­ме­ни опи­сы­ва­ет оди­на­ко­вые пло­щад­ки, т. е. пло­щадь, за­штри­хо­ван­ная го­ри­зон­таль­но (рис. 12), равна пло­ща­ди за­штри­хо­ван­ной вер­ти­каль­но (рис. 12), если время дви­же­ния пла­нет в эти два от­рез­ка оди­на­ко­вое.

Ил­лю­стра­ция вто­ро­го за­ко­на Кепле­ра

Рис. 12. Ил­лю­стра­ция вто­ро­го за­ко­на Кепле­ра

Тре­тий закон Кепле­ра:

T – это пе­ри­од вра­ще­ния пла­не­ты во­круг Солн­ца (на рис. 13 эта об­ласть за­кра­ше­на), a – это по­ло­ви­на или боль­шая по­лу­ось, т. е. квад­ра­ты пе­ри­о­дов вра­ще­ния пла­нет от­но­сят­ся как кубы боль­ших по­лу­осей.

Ил­лю­стра­ция тре­тье­го за­ко­на Кепле­ра

Рис. 13. Ил­лю­стра­ция тре­тье­го за­ко­на Кепле­ра

Несмот­ря на то что за­ко­ны Кепле­ра прак­ти­че­ски пол­но­стью опи­сы­ва­ли дви­же­ние небес­ных тел (а сле­ду­ет ска­зать, что по со­вре­мен­ным воз­зре­ни­ям точ­ность дей­ствия за­ко­нов Кепле­ра со­став­ля­ет прак­ти­че­ски по­ряд­ка од­но­го про­цен­та, это очень хо­ро­шая точ­ность, т. е. на 99 % они пра­виль­но опи­сы­ва­ют дви­же­ние небес­ных объ­ек­тов) они оста­ют­ся лишь обоб­ще­ни­ем неко­то­рых эм­пи­ри­че­ских на­блю­де­ний, ко­то­рые про­во­ди­ли аст­ро­но­мы. Фун­да­мент под эти за­ко­ны как раз и под­вел Исаак Нью­тон, вы­ве­дя закон все­мир­но­го тя­го­те­ния. Тем не менее от­да­дим долж­ное тру­дам аст­ро­но­мов того вре­ме­ни: Тихо Праге, Иоган­на Кепле­ра и дру­гих, ведь им было неиз­ме­ри­мо слож­нее, чем со­вре­мен­ным аст­ро­но­мам, с точки зре­ния тех­ни­ки, ко­то­рая у них была, и с точки зре­ния ма­те­ма­ти­че­ско­го ап­па­ра­та и устройств для об­ра­бот­ки на­блю­де­ний.

Кроме этого, гра­ви­та­ци­он­ное вза­и­мо­дей­ствие обу­слав­ли­ва­ет на­ли­чие при­ли­вов, от­ли­вов, а также мно­же­ства дру­гих фи­зи­че­ских яв­ле­ний.

 

Закон все­мир­но­го тя­го­те­ния Нью­то­на в 2007 г. был про­ве­рен и на рас­сто­я­ни­ях, мень­ших од­но­го сан­ти­мет­ра (от 55 мкм до 9,35 мм). С уче­том по­греш­но­стей экс­пе­ри­мен­та в ис­сле­до­ван­ном диа­па­зоне рас­сто­я­ний от­кло­не­ний от за­ко­на Нью­то­на не об­на­ру­же­но.

Последнее изменение: Среда, 6 Июнь 2018, 16:06