Решение задач по динамике. Движение связанных тел
Введение
Мы продолжаем изучать динамику – раздел физики, изучающий причины возникновения механического движения.
Часто мы решаем задачи, в которых есть несколько связанных между собой тел, на каждое из которых действуют несколько сил. Мы уже решали задачи по динамике и знаем, как это делается. Как обычно, мы:
1) определяем все силы, действующие на тело;
2) выбираем удобную систему координат;
3) применяем второй закон Ньютона, то есть записываем векторную сумму действующих на тело сил и приравниваем ее 
;
4) чтобы привести уравнение к виду, в котором мы можем его легко решить,
записываем его в проекциях на выбранные оси координат.
Решение задач. Задача 1
Задача
Два ученика на роликовых коньках держатся за веревку, протянутую между ними. Когда они начинают вдвоем вытягивать веревку, первый начинает двигаться с ускорением 
. С каким ускорением движется второй, если его масса в 1,5 раза меньше? Силой трения между землей и роликами пренебречь.
Анализ условия:
- в задаче описаны два ученика, связанные через веревку;
- на каждого ученика действует сила тяжести 
и 
, сила реакции опоры 
и 
и сила натяжения веревки 
и 
. Обозначим их на рис. 1.
Рис. 1. Силы, действующие на первого ученика (слева), второго (справа)
- ученики взаимодействуют между собой через веревку с силами, по третьему закону Ньютона, равными по модулю: 
.
- силы, действующие на каждого ученика, вызывают его ускорение, будем применять второй закон Ньютона. Ученики не связаны веревкой жестко, они вытягивают веревку, перехватывая ее, поэтому их ускорения могут отличаться.
Обратим внимание, что, применяя второй закон Ньютона к ученику, мы учитываем именно силы, которые действуют на ученика. Мы не должны, например, ошибочно учесть силу, с которой ученик тащит на веревку, нам важна сила, с которой веревка действует на ученика.
Решение
Выберем систему координат. Удобно направить ось х вдоль веревки, а ось у перпендикулярно ей вверх (рис. 2).
Рис. 2. Выбранная система координат
Применим второй закон Ньютона для каждого тела:
Запишем полученные выражения в проекциях на выбранные оси координат. В проекции на ось у имеем 
, 
, для решения задачи уравнения никакой информации не несут. В проекции на ось х запишем:
С учетом того что , а отношение масс по условию задачи 
, запишем:
Приравняв правые части уравнений, получим: 
.
Задача решена: ускорение второго ученика в полтора раза больше ускорения первого.
Решение задач. Задача 2
На нити, переброшенной через неподвижный блок, подвешены грузы массами m и 2m. С каким ускорением будут двигаться грузы, если их отпустить? Трением в блоке пренебречь.
Анализ условия:
- в задаче описаны два связанных груза;
- на каждый из них действует сила тяжести и одинаковая по модулю сила натяжения нити (по третьему закону Ньютона);
- грузы жестко связаны нерастяжимой нитью, значит, они оба движутся с одинаковым ускорением, по второму закону Ньютона, вызванным равнодействующей силой для каждого груза;
- естественно предположить, что ускорение будет направлено в сторону более тяжелого груза (рис. 3).
Рис. 3. Силы, действующие на грузы
Решение
Тела движутся вдоль вертикального направления, поэтому направим координатную ось вертикально, например, вниз.
Применим второй закон Ньютона для каждого тела:
Запишем в проекции на ось у и получим систему уравнений: 
.
Остается решить систему и найти ускорение, которое получим равным 
.
|
Математическая часть решения задачи
Вычтем второе уравнение из первого:
|
Решение задач. Задача 3
Два бруска, массы которых равны 
и 
, связаны нитью и лежат на гладком столе. К одному из брусков приложена сила 
, направленная параллельно плоскости стола. При каком максимальном значении силы 
нить оборвется, если сила будет приложена: а) к бруску массой 
; б) к бруску массой 
? Нить выдерживает максимальную силу натяжения 
. Трением пренебречь.
Анализ условия:
- в задаче описаны два связанных груза;
- решим задачу для случая а. Тогда на первый брусок действует сила тяжести , сила реакции опоры , сила натяжения нити и сила 
. На второй брусок действует сила тяжести , сила реакции опоры и сила натяжения нити . Обозначим силы на рис. 3.
Рис. 4. Решение задачи для случая а
- по третьему закону Ньютона ;
- грузы жестко связаны нерастяжимой нитью, значит, они оба движутся с одинаковым ускорением. Будем применять второй закон Ньютона.
- нам нужно решить задачу для случая, когда нить вот-вот разорвется, поэтому при вычислениях подставим значение 
.
Решение
Выберем систему координат. Как и в одной из предыдущих задач, в проекции на вертикальную ось координат мы получим для каждого бруска, что 
, нас в данной задаче это не интересует. Поэтому нам будет достаточно одной оси, направим ее вдоль действия силы (рис.4).
Рис. 4. Направление оси х
Применим второй закон Ньютона для каждого тела:
Запишем в проекции на ось x. Сразу подставим значения сил 
и 
и получим систему уравнений: 
.
Остается решить систему и найти .
|
Математическая часть решения задачи
Выразим из второго уравнения ускорение Подставим в первое и выразим
Вычислим: |
Получим конечную формулу 
и ответ 16,3 Н. При ответе на вопрос б (показать графикой условие) задача будет решаться точно так же, только бруски 1 и 2 поменяются местами. Рекомендую вам проделать это самостоятельно, а я подставлю в конечной формуле 
вместо 
– и, наоборот, получим:
Решение задач. Задача 4
Четыре одинаковых бруска массой 
каждый связаны нитями и лежат на гладком столе (рис. 5). К первому бруску приложена сила , параллельная плоскости стола. Найдите силы натяжения всех нитей.
Рис. 5. Условие задачи
Анализ условия:
- в задаче описаны четыре связанных бруска;
- на каждый брусок действует сила тяжести 
, сила реакции опоры 
, силы натяжения нитей 
, которые прикреплены к рассматриваемому бруску, и на первый брусок еще действует сила .
- по третьему закону Ньютона, первая нить действует на первый и второй груз с одинаковыми силами, равными по модулю
и противоположными по направлению, обозначим это на рисунке как и 
. Вторая нить действует на второй и третий брусок с силами, равными 
и т.д. (рис.6).
Рис. 6. Силы, действующие на бруски
- грузы жестко связаны нерастяжимыми нитями, значит, они все движутся с одинаковым ускорением. Будем применять второй закон Ньютона.
Решение
Выберем систему координат. Как и в предыдущей задаче, в проекции на вертикальную ось координат мы получим для каждого бруска, что , нас в данной задаче это не интересует. Поэтому нам будет достаточно одной оси, направим ее вдоль действия силы .Применим второй закон Ньютона для каждого бруска:
Запишем в проекции на ось x, сразу учитывая, что массы брусков равны 
, и получим систему уравнений: 
.
Остается решить систему и найти , , 
и 
.
Получим ответ: 
|
Математическая часть решения задачи
Сложим все 4 уравнения системы и получим:
Подставим в четвертое уравнение: Подставим
Подставим
|
в третье уравнение:
во второе уравнение:
Как видите, даже в задаче с четырьмя связанными телами мы ничего нового не делали: мы, как обычно, определили силы, которые действуют на каждое отдельное тело, и применили к каждому телу второй закон Ньютона, записав его в проекции на выбранные оси координат.