Уравнения с параметрами

    Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение параметрическим.

Решить уравнение с параметром означает:

Найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.

Найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, то есть для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

Пример 1. 

Решим уравнение:

       2а(а – 2) х = а – 2

Решение.

Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются а=0 и а=2. При этих значениях а невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при значениях параметра а≠0, а≠2 это деление возможно. Таким образом, целесообразно множество всех действительных значений параметра разбить на подмножества

A₁ = {0}, А₂ = {2} и Аз = {а≠0, а≠2}

и  решить уравнение на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра:

1) а = 0;  2) а = 2;  3) а ≠ 0, а ≠ 2

Рассмотрим эти случаи.

1. При а = 0 уравнение принимает вид 0 х= – 2. Это уравнение не имеет корней
2. При а = 2 уравнение принимает вид 0 х=0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.                    
3. При а ≠ 0, а ≠ 2  из уравнения получаем,

Ответ:  1) если а = 0, то корней нет; 2) если а = 2, то х — любое  действительное число; 3)  если а ≠ 0, а ≠ 2, то 

Пример 2.

Решим уравнение:

(а – 1)х² + 2(2а+1)х + (4а+3) = 0

Решение.

В данном случае контрольным является значение a=1. Дело в том, что при a=1 уравнение является линейным, а при а≠ 1 оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит, целесообразно рассмотреть уравнение как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра:  1) а=l; 2) а≠1.

Рассмотрим эти случаи.

1. При a = 1 уравнение примет вид х + 7 = 0. Из этого  уравнения находим х= - 7/6
2. Из множества значений параметра а ≠ 1 выделим те значения, при которых дискриминант уравнения обращается в 0.

    Дело в том, что если дискриминант D = 0 при а = а_о, то при переходе значения D через точку а_о дискриминант может изменить знак (например, при а < а_о D < 0, а при а > а_о D > 0). Вместе с этим при переходе через точку а_о меняется и число действительных корней квадратного уравнения (в нашем примере при а < а_о корней нет, так как D < 0, а при а > а_о D > 0 уравнение имеет два корня).

    Значит, можно говорить о качественном изменении уравнения. Поэтому значения параметра, при которых обращается в 0 дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным значениям.

    Составим дискриминант уравнения  = (2a + 1)² - (a - 1)(4a + 3). После упрощений получаем  = 5а + 4.

Из уравнения  = 0 находим a = – – второе контрольное значение параметра а. При этом если a < –, то D < 0; если a ≥ –, a ≠ 1, то D ≥ 0. Таким образом, осталось решить уравнение в случае, когда а < – и в случае, когда {a ≥ –, a ≠ 1}.

Если a < –,  то уравнение не имеет действительных корней; если же {a ≥ –, a ≠ 1}, то находим .

Ответ: 1) если a < –, то корней нет; 2) если а = 1, то x = –;  3) a ≥ –, a ≠ 1, то .

Пример 3.

Решить уравнение:

cos = 2a.

Решение.

Так как E(cost) = [-1; 1], то имеем два случая:

1. При |a| > 0,5 уравнение не имеет решений
2. При |a| ≤ 0,5

а)  = arccos2a + 2n. Так как уравнение имеет решение, если  = arccos2a + 2n ≥ 0, то n может принимать значения n = 0, 1, 2, 3, ... Решением уравнения является x = 1 + (2n + arccos2a)².

b)  = -arccos2a + n. Так как уравнение имеет решение при условии, что  = -arccos2a + 2n > 0, то nN и решение уравнения. x = 1 + (2n - arccos2a)².

Ответ: если |a| > 0,5 - решений нет; если |a| ≤ 0,5, x = 1 + (2n + arccos2a)² при n = 0, 1, 2, ... и x = 1 + (2n - arccos2a)² при nN.

Вопросы к конспектам