Основные методы решения неравенств и их систем

    Неравенством называется запись, в которой функции соединены знаком (или несколькими знаками) отношения">", "<", "≤", "≥".

Неравенства, содержащие два знака отношения, называются двойными, три знака отношения — тройными и т.п. Примеры таких неравенств:

  • f(x) > g(x),
  • f(x) < g(x),
  • f(x) ≤ g(x),
  • f(x) ≥ g(x).

   f(x) < h(x) < g(x) это пример двойного неравенства.

    Неравенства f(x) > g(x),  f(x) < g(x),  называются  строгими,  а  неравенства f(x) ≤ g(x),  f(x) ≥ g(x) - нестрогими.

    Решением неравенства, называется всякое значение переменой, при котором  данное  неравенство  верно.  Например,  решением  неравенства f(x) > g(x) является всякое значение переменной x = a, при котором справедливо неравенство f(a) > g(a), или функция f(x) при x=a принимает большее значение чем функция g(x).

    Задание "решить неравенство" означает, что требуется найти множество всех его решений. Это множество может оказаться пустым — в случае, когда решений нет. Множество всех решений неравенства будем называть его ответом.

    Неравенство В называется следствием неравенства А, если всякое решение А является решением неравенства В. В этом случае используется запись Аbegin mathsize 12px style rightwards arrow end styleВ. Два неравенства А и В называются равносильными (или эквивалентными пишем Аbegin mathsize 12px style rightwards arrow end styleВ либо А ~ В),если их ответы совпадают. Если Аbegin mathsize 12px style rightwards arrow end styleВ и Вbegin mathsize 12px style rightwards arrow end styleА неравенства А и В эквивалентны.

    Запись нескольких неравенств под знаком фигурной скобки называется системой (число и вид неравенств, входящих в систему, может быть произвольным). Решение системы неравенств есть пересечение решений всех входящих в нее неравенств. Двойное неравенство f(x) < g(x) < h(x) можно записать в виде системы:

begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell f open parentheses x close parentheses less than g open parentheses x close parentheses end cell row cell g open parentheses x close parentheses less than h open parentheses x close parentheses end cell end table close end style

    Запись нескольких неравенств, объединенных квадратной скобкой, называется совокупностью данных неравенств. Решение совокупности есть объединение решений входящих в нее неравенств.

Пример 1. 

Решить неравенство  begin mathsize 12px style fraction numerator x minus 1 over denominator x plus 1 end fraction greater than 0 end style

Решение.

Частное двух чисел положительно в том случае, когда и делимое, и делитель положительны, или они отрицательны. Опираясь на это утверждение составим совокупность двух систем неравенств.

begin mathsize 12px style left enclose table row cell open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x minus 1 greater than 0 end cell row cell x plus 1 greater than 0 end cell end table close end cell row cell open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x minus 1 less than 0 end cell row cell x plus 1 less than 0 end cell end table close end cell end table end enclose end style

Сначала решим систему неравенств open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell size 12px x size 12px minus size 12px 1 size 12px greater than size 12px 0 end cell row cell size 12px x size 12px plus size 12px 1 size 12px greater than size 12px 0 end cell end table close

решим систему неравенств

Первая система равносильна неравенству х > 1.

Теперь, решаем систему неравенств: open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell size 12px x size 12px minus size 12px 1 size 12px less than size 12px 0 end cell row cell size 12px x size 12px plus size 12px 1 size 12px less than size 12px 0 end cell end table close

решим систему неравенств

Вторая система равносильна неравенству x < -1.

    Решение (множество значений переменной обращающих данное неравенство в истинное числовое неравенство) искомого неравенства можно записать несколькими способами:

  1. x > 1 и x < -1
  2. begin mathsize 12px style left enclose table attributes columnalign left end attributes row cell x less than negative 1 end cell row cell x greater than 1 end cell end table end enclose end style
  3. xbegin mathsize 12px style element of end style(-begin mathsize 12px style infinity end style; -1)begin mathsize 12px style union end style(1; +begin mathsize 12px style infinity end style)

Сформулируем несколько часто используемых при отыскании решений свойств неравенств, все они уже знакомы Вам.

  1. К обеим частям неравенства можно прибавить одну и туже функцию определенную в ОДЗ данного неравенства. Если f(x) > g(x) и h(x) - любая функция определенная в ОДЗ данного неравенства, то f(x) + h(x) > g(x) + h(x)
  2. Если обе части неравенства умножить на положительную функцию, определенную в ОДЗ данного неравенства (или на положительное число), то получим неравенство, равносильное исходному неравенству:  если f(x) > g(x) и h(x) > 0, то f(x)h(x) > g(x)h(x)
  3. Если обе части неравенства умножить на отрицательную функцию, определенную в ОДЗ данного неравенства (или на отрицательное число) и знак неравенства изменить на противоположный, то полученное неравенство эквивалентно данному неравенству: если  f(x) > g(x) и h(x) < 0, то f(x)h(x) < g(x)h(x)
  4. Неравенства одинакового смысла можно почленно складывать. Если f(x) > g(x) и m(x) > h(x), то f(x) + m(x) > g(x) + h(x).
  5. Неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать  если  f(x) > g(x) и h(x) < m(x), то f(x) - h(x) < g(x) - m(x).
  6. Неравенства одного смысла с положительными частями можно почленно умножать.  Если f(x) > g(x) > 0 и  m(x) > h(x) > 0 , то  f(x) g(x) > m(x) h(x).
  7. Неравенства, образованные неотрицательными функциями, можно почленно  возводить  в  положительную  степень:  если f(x) > g(x) > 0 и m > 0, то (f(x))m > (g(x))m.

    Иногда, решая неравенство, приходится переходить к неравенству - следствию, т.е. выполнять неравносильное преобразование (как правило, связанные с расширением ОДЗ): заменить функцию f(x) — f(x) нулем, сократить неравенство f{x)g{x) > f(x)h{x) на общий положительный множитель f{x) и т.п. Решения, найденные в результате этих действий, могут оказаться посторонними. Перед записью ответа их следует "отсечь"посторонние решения.

    Пусть M – множество допустимых значений переменной х данного неравенства (ОДЗ). B – множество найденных решений неравенства. A множество решений данного неравенства. Тогда A = Bbegin mathsize 12px style bold intersection end styleM.

Пример 2.

Решить неравенство begin mathsize 12px style 3 x plus fraction numerator 1 over denominator x minus 8 end fraction greater than fraction numerator 1 over denominator x minus 8 end fraction plus 9 end style   (1).

Решение.

Вычтем из обеих частей неравенства функцию begin mathsize 12px style h open parentheses x close parentheses equals fraction numerator 1 over denominator x minus 8 end fraction end style получим равенство 3x > 9.

Разделим обе части полученного неравенства на положительное число 3  в результате получим x > 3   (2). Выполнив это преобразование, мы заменили неравенство (1) неравенством (2). Эти неравенства не равносильны (1)begin mathsize 12px style rightwards arrow end style(2).

M = (-begin mathsize 12px style infinity end style; 8)begin mathsize 12px style union end style(8; +begin mathsize 12px style infinity end style) - ОДЗ неравенства (1).

В = (3; +begin mathsize 12px style infinity end style) - это решение неравенства (2).

Найдем множество решений неравенства (1) 

A = Bbegin mathsize 12px style intersection end styleM = (-begin mathsize 12px style infinity end style; 8)begin mathsize 12px style union end style(8; +begin mathsize 12px style infinity end style)begin mathsize 12px style intersection end style(3; +begin mathsize 12px style infinity end style) = (3; 8)begin mathsize 12px style union end style(8; +begin mathsize 12px style infinity end style)

Ответ: xbegin mathsize 12px style element of end style(3; 8)begin mathsize 12px style union end style(8; +begin mathsize 12px style infinity end style). 

Метод интервалов

Метод интервалов часто используют при решения неравенств. Он позволяет свести решение неравенства f(x) > 0 (<, <, >) к решению уравнения f(x) = 0.

Метод заключается в следующем:

  1. Находится ОДЗ неравенства.
  2. Неравенство приводится к виду f(x) > 0(<, <, >) (т.е. правая часть переносится влево) и упрощается.
  3. Решается уравнение f(x) = 0.
  4. Метод интервалов часто используют при решения неравенств. Он позволяет свести решение неравенства f(x) > 0 (≥, <, ≤) к решению уравнения f(x) = 0. Метод заключается в следующем: интервалы состоят из неокрашенных точек, если неравенство строгое, и закрашенных, если оно нестрогое.
  5. Все точки, отмеченные на ОДЗ и ограничивающие его, разбивают это множество на так называемые интервалы знакопостоянства. На каждом таком интервале определяется знак функции f(х).
  6. Ответ записывается в виде объединения  отдельных  множеств, на  которых f{x) имеет соответствующий знак. Точки, отмеченные закрашенными кружками, в ответ входят, отмеченные пустыми - нет. Точки ОДЗ, являющиеся граничными, включаются (или не включаются) в ответ после дополнительной проверки.

Метод интервалов основан на том, что непрерывная функция f(x) может изменить знак либо в граничных точках ОДЗ, где она "разрывается", либо проходя через ноль, т.е. в точках, являющиеся корнях уравнения f(x) = 0. Ни в каких других точках перемены знака не происходит.

Пример 3. 

Решить неравенство begin mathsize 12px style fraction numerator square root of x plus 1 end root over denominator x minus 5 end fraction greater or equal than 0 end style.

Решение.

ОДЗ: begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x plus 1 greater or equal than 0 end cell row cell x minus 5 not equal to 0 end cell end table close end style откуда имеем xbegin mathsize 12px style element of end style[-1; 5)begin mathsize 12px style union end style(5; +begin mathsize 12px style infinity end style)

Решим уравнение begin mathsize 12px style fraction numerator square root of x plus 1 end root over denominator x minus 5 end fraction equals 0 end style Числитель дроби равен 0 при x = -1, это и есть корень уравнения. Отметим найденный корень на чертеже (черным кружком, т.к. неравенство нестрогое), предварительно отметив ОДЗ:

Отметим найденный корень на чертеже

Чтобы определить знак на промежутке (-1; 5) возьмем число 0, begin mathsize 12px style f open parentheses 0 close parentheses equals fraction numerator square root of 0 plus 1 end root over denominator 0 minus 5 end fraction equals negative 1 fifth less than 0 end style,

Чтобы определить знак на втором промежутке возьмем число 8, begin mathsize 12px style f open parentheses 8 close parentheses equals fraction numerator square root of 8 plus 1 end root over denominator 8 minus 5 end fraction equals 3 over 3 greater than 0 end style.

Точки 0 и 8 выбирались произвольно, но так, чтобы упростить процесс вычисления каждого значения функции.

Ответ: (-5; +begin mathsize 12px style infinity end style).

Пример 4. 

Решить неравенство begin mathsize 12px style fraction numerator 1 over denominator x squared minus 8 x plus 7 end fraction greater than fraction numerator square root of x over denominator x squared minus 8 x plus 7 end fraction end style.

Решение.

Используя свойство частного и определение квадратного корня делаем вывод, что  

begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x squared minus 8 x plus 7 not equal to 0 end cell row cell x greater or equal than 0 end cell end table close end style откуда begin mathsize 12px style open curly brackets table row cell x not equal to 3 end cell row cell x not equal to 5 end cell row cell x greater or equal than 0 end cell end table close end style ОДЗ: xbegin mathsize 12px style element of end style[0; 1)begin mathsize 12px style union end style(1; 7)begin mathsize 12px style union end style(7; +begin mathsize 12px style infinity end style)

Решим уравнение

begin mathsize 12px style fraction numerator 1 over denominator x squared minus 8 x plus 7 end fraction equals fraction numerator square root of x over denominator x squared minus 8 x plus 7 end fraction semicolon end style

begin mathsize 12px style fraction numerator 1 over denominator x squared minus 8 x plus 7 end fraction minus fraction numerator square root of x over denominator x squared minus 8 x plus 7 end fraction equals 0 semicolon end style

begin mathsize 12px style fraction numerator 1 minus square root of x over denominator x squared minus 8 x plus 7 end fraction equals 0 semicolon end style

begin mathsize 12px style 1 minus square root of x equals 0 semicolon end style

x = 1.

На промежутке (0;1) возьмем точку 0,5;

begin mathsize 12px style f open parentheses 0 comma 5 close parentheses equals fraction numerator 1 minus square root of 0 comma 5 end root over denominator 0 comma 5 squared minus 8 asterisk times 0 comma 5 plus 7 end fraction equals end stylebegin mathsize 12px style fraction numerator 1 minus square root of 0 comma 5 end root over denominator 0 comma 25 minus 4 plus 7 end fraction greater than 0 semicolon end style

На промежутке (1; 7) возьмем точку 4,

begin mathsize 12px style f open parentheses 4 close parentheses equals fraction numerator 1 minus square root of 4 over denominator 4 squared minus 8 asterisk times 4 plus 7 end fraction equals fraction numerator negative 1 over denominator negative 9 end fraction greater than 0 end style;

На промежутке (7; +begin mathsize 12px style infinity end style) возьмем точку 9,

begin mathsize 12px style f open parentheses 9 close parentheses equals fraction numerator 1 minus square root of 9 over denominator 9 squared minus 8 asterisk times 9 plus 7 end fraction equals fraction numerator negative 2 over denominator 16 end fraction less than 0 semicolon end style

Расставим знаки на координатной прямой.

Отметим найденный корень на чертеже

Таким образом, решением данного неравенства является множество чисел принадлежащих промежутку (0; 1)begin mathsize 12px style union end style(1; 7).

Эти примеры наглядно демонстрируют, что промежутки знакопостоянства не обязательно чередуются, процесс определения знака на промежутке может оказаться довольно трудной задачей.

Полезно запомнить следующее.

 Если функция представляет собой произведение нескольких не повторяющихся множителей, имеющих вид (ax + b), где a > 0, то знаки функции на промежутках справа на лево чередуются с "плюса" на "минус"... Если какой-то множитель повторяется четное число раз, то при переходе через эту точку смены знака не происходит. В примере №4 Такой точкой была точка 1

 

Пример 5. 

Решить неравенство (2x - 6)(3x + 12)(5x + 1) < 0.

Решение.

Нули функции: - 4; - 0,2; 3.

Функция в левой части неравенства представляет собой произведение не повторяющихся множителей, значит знаки  этой функции чередуются cправа на лево с "+" на "-" ....

Расставим знаки на координатной прямой

Вопросы к конспектам

Напишите неравенство, решением которого является окружность и точки внутри окружности: Решение неравенства
Напишите неравенство, решением которого является окружность и точки внутри окружности:решите неравенство
Найдите точки, являющиеся решением неравенства x2 + y2 ≤ 144:
  1. (6;10)
  2. (-12;0)
  3. (8;9)
  4. (9;7)
  5. (-12;12)
Найдите точки, являющиеся решением неравенства x2 + y2 ≥ 100
  1. (6;10)
  2. (-10;0)
  3. (8;5)
  4. (9;7)
  5. (-10;10)
Решите неравенство: begin mathsize 12px style fraction numerator x squared minus 5 x plus 4 over denominator x squared minus 9 end fraction less or equal than 0 end style
Решите систему неравенств: begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x greater than 0 end cell row cell 4 x squared plus 10 x minus 6 greater than 0 end cell end table close end style
Решите систему неравенств: begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell 2 x squared plus 3 x plus 2 less than 0 end cell row cell x squared minus 8 x plus 16 greater or equal than 0 end cell end table close end style
Решить неравенство: 2х+ 5х - 12 < 0
Решить неравенство: 4х2 + 4х + 1 > 0
Укажите решение неравенства: begin mathsize 12px style fraction numerator negative 3 x squared plus 4 x minus 5 over denominator 2 x plus 3 end fraction greater than 0 end style
Последнее изменение: Четверг, 2 Март 2017, 23:28