Уравнения и неравенства, содержащие переменные под знаком модуля

    При решении уравнений, содержащих выражение с неизвестной под знаком модуля, в соответствии с правилом раскрытия модуля, рассматриваются два случая: выражение под знаком модуля отрицательно и неотрицательно. Приведем также основные свойства модуля, часто применяемых в решение задач:

1. |ab| = |a|*|b|;
2. |a|ⁿ = |aⁿ|;
3.  = |a|;
4. |a| = 0, если a = 0.

    Поговорим о некоторых способах решения задач с модулем. Среди них один занимает самое главное место, так как он является самым общим, однако, иногда не самым рациональным. Заключается он в следующем.

Метод интервалов

Предположим, что имеется уравнение или неравенство, в которое входят один или несколько модулей.

1. Первым делом нужно отделить критические точки. Под этим мы понимаем все значения переменной, при которых один из модулей обращается в нуль.
2. Нанесите полученное множество значений на ось данной переменной, например Ox.Прямая разобьется на несколько конечных и два бесконечных интервала. Каждый интервал соответствует знакопостоянству подмодульных выражений.
3. Рассмотреть столько случаев решения, сколько получилось интервалов. При этом освобождаться от модулей нужно, проверяя знак подмодульного выражения. Т.е. изменять его на противоположный, если выражение отрицательно и оставлять его прежним в противном случае. Важно не забыть, что частным ответом в каждом из полученных случаев является пересечение интервала и найденного решения.
4. Объединить полученные в каждом интервале ответы в один.

Рассмотрим подробнее этот метод на следующем примере.

|x + 2| + |x - 3| = 5

Нанесем на числовую прямую значение x, при котором x + 2 = 0 и значение x, при котором   x – 3 = 0. Числовая прямая разобьется на промежутки (-; -2), [-2; 3], (3; +)

Решим уравнений на каждом из этих интервалов.

x	(-; -2)	[-2; 3]	(3; +)
x+2	-	+ - +	+
x-3	-	- -	+

    Рассмотрим первый промежуток, чтобы определить знак подмодульного выражения, возьмем контрольную точку x = 3, подставим ее в наше уравнение –3 + 2 < 0 и во второе -3 – 3 < 0. Аналогично рассмотрим знаки подмодульных выражений на втором и третьем промежутках.

Решим уравнение на каждом из этих промежутков, т.е. решим равносильную уравнению совокупность смешанных систем:

1.

Не может быть корнем

2.

x + 2 - x + 3 = 5

0x = 0  x - любое число из [-2; 3].

3.

x + 2 + x - 3 = 5, x = 3

Вывод:

Решение второй системы является объединением решений 3-х систем.

Ответ:  x принадлежит [-2;3] или все значения сегмента [-2;3].

Этот способ уже не столь универсален, но им нельзя пренебрегать, если он применим. Часто уравнение или неравенства с модулем содержит только линейные выражения относительно переменной. В этом случае существует очень простой рецепт построения графиков с модулями, что часто существенно облегчает решение задачи. Он базируется на простом замечании – графики таких выражений состоят из кусков линий, т.е. являются ломаными. Метод состоит в следующем:

1. Найти, как и раньше, все критические точки и нанести их на ось абсцисс. Найти непосредственно значения заданной функции в этих точках (это удобно делать с помощью отдельной таблицы) и нанести их на координатную плоскость.
2. В каждой из конечных интервалов, получаемых после разбиения критическими точками, график является прямой и может быть простым соединением нанесенных в предыдущем пункте точек на координатной плоскости.
3. Выбрать две удобные для вычисления точки, расположенные в левом и правом бесконечных интервалах и аналогично п.1 найти значения функций в них. Окончательно, соединяя построенный участок графика с оставшимися двумя точками, получим требуемый график.

Проиллюстрируем это на примере построения графика |x+2|+|x-3|=5. Построим график функции

у = |x + 2| + |x – 3| и y = 5

х + 2 = 0, x –3 = 0

x₁ = –2   x₂ = 3

    Наносим на ось корни линейных функций стоящих под знаком модуля. На каждом из трех промежутков знаки этих линейных функций постоянны и мы можем избавиться от знака модуля.

если x < – 2, то y =-(x + 2) – (x – 3) = –2x + 1 если –2 < x < 3, то y = +(x + 2) – (x – 3) = x + 2 – x + 3 = 5 если x > 3, то y = +(x + 2) + (x – 3) = 2x – 1

    При построении графика провести вертикальные прямые x = –2 и x = 3, которые разобьют плоскость на три части. В левой части надо провести прямую y = –2x + 1, в центральной полосе y = 5 и в правой y = 2x – 1: (для контроля надо следить, чтобы ломаная была непрерывной, т.е. чтобы значения в разделяющих точках изломах, вычисленные по соседним формулам совпали). В нашем случае при x - 2 значение функции y = –2x + 1 совпадает со значением    y = 5, точно так же при x = 3 совпадают значения функции y = 5 и y = 2x – 1

Строим график y = |x + 2| + |x - 3|

1. y = -2x + 1 
   

   x	-3	-4
   y	7	9

2. y = 5

3. y = 2x - 1

   x	5	4
   y	7	9

Графики y = |x + 2| + |x - 3| и y = 5 пересекаются на промежутке, если x[-2; 3].

Ответ: x[-2; 3]

Вопросы к конспектам