Наибольшее и наименьшее значение функций на промежутке

    Говорят, что функция y = f(x), определенная на промежутке Х, достигает на нем своего наибольшего (наименьшего) значения, если существует точка а, принадлежащая этому промежутку, такая, что для всех х из Х выполняется неравенство 

f(x) ≤ f(a)     f(x) ≥ f(a)

Функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.

Наибольшее значение М и наименьшее значение m непрерывной функции могут достигаться как внутри отрезка, так и на его концах. Если наибольшего (наименьшего) значения функция достигает во внутренней точке отрезка, то эта точка является точкой экстремума.

Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции y = f(x) на отрезке [a, b]:

1. найти f'(x);
2. найти точки, в которых f'(x) = 0 или f'(x) не существует, и отобрать из них те, что лежат внутри отрезка [a, b];
3. вычислить значения функции y = f(x) в точках, полученных в п.2, и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее; они и будут соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции y = f(x) на отрезке [a, b], которые можно обозначить так: y_наиб, y_наим.

   Если поставлена задача найти y_наиб, y_наим для непрерывной на (a, b) функции y = f(x), то она решается по тому же правилу, что соответствующая задача для отрезка [a, b].

   Отличие: на третьем этапе вместо вычисления значений функции на концах отрезка находят пределы функции при приближении к концам интервала.

 Иногда для отыскания наибольшего или наименьшего значения непрерывной функции y = f(x) на промежутке (a, b) полезны два утверждения:

1. если функция y = f(x) имеет в промежутке Х только одну точку экстремума x = a, причем это точка максимума, то f(a) - наибольшее значение функции на промежутке Х;
2. если функция y = f(x) имеет в промежутке Х только одну точку экстремума x = a, причем это точка минимума, то f(a) - наименьшее значение функции на промежутке Х.

Пример.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции  на интервалах: (-; -4]

Решение.

Начнем с области определения функции. Квадратный трехчлен в знаменателе дроби не должен обращаться в нуль:

x² + x - 6 = 0; D = 25; x₁ = -3; x₂ = 2D(y): x(-; - 3)(-3; 2)(2; +)

Легко проверить, что все интервалы из условия задачи принадлежат области определения функции.

Продифференцируем функцию:

Очевидно, производная существует на всей области определения функции.

Найдем стационарные точки. Производная обращается в ноль при 

Эта стационарная точка попадает в интервалы (-3;1] и (-3;2).

Для первого промежутка (-; -4] вычисляем значение функции при x = -4 и предел на минус бесконечности: 

y(-4) =  = 3 - 4 ≈ -0,456

 3e⁰ - 4 = - 1

Так как 3 - 4 > -1, то y = y(-4) = 3 - 4, а о наименьшем значении функции выводов сделать нельзя. Можно лишь утверждать, что значения функции ограничены снизу значением -1 (на минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к прямой y = -1).

Вопросы к конспектам