Степень с натуральным и нулевым показателем

Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a:

В выражении aⁿ :
- число а (повторяющийся множитель) называют основанием степени
- число n (показывающее сколько раз повторяется множитель) – показателем степени.

Например:
3⁴ = 3·3·3·3= 81,
здесь:
3 – основание степени,
4 – показатель степени,
81 – значение степени

Отметим, что основание степени может быть любым числом.
Вычисление значения степени называют действием возведения в степень. Это действие третьей ступени. То есть при вычислении значения выражения, не содержащего скобки, сначала выполняют действие третьей ступени, затем второй (умножение и деление) и, наконец, первой (сложение и вычитание).

Для записи больших чисел часто применяются степени числа 10. Так, расстояние от земли до солнца примерно равное 150 млн. км, записывают в виде 1,5 · 10⁸
Каждое число большее 10 можно записать в виде: а · 10ⁿ , где 1 < a < 10 и n – натуральное число. Такая запись называется стандартным видом числа.
Например: 4578 = 4,578 · 10³;
103000 = 1,03 · 10⁵.

Свойства степени с натуральным показателем:
1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются
a^m * aⁿ = a^{m + n}
Например: 2²*2³=2⁵=32

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней вычитаются
a^m : aⁿ = a^{m — n} , где, m > n, 
Например: 3⁵:3² = 3³ = 27

3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются.
(a^m)ⁿ = a^{m * n}
Например: (2³)2 = 2^3·2 = 2⁶ =64

4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель
(a * b)ⁿ = aⁿ * bⁿ ,
Например: (2*3)³=2³*3³=8*27=216

5. При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель и знаменатель

Например:

6. Любое число с нулевым показателем равно единице
Например:
5⁰ = 1; 124⁰ = 1; х⁰ = 1

Вопросы к конспектам

Вычислите: 

Вычислите: 

Вычислите: 

Вычислите: 

Запишите в виде квадрата числа: 

Найдите значение выражения при a = 0,25; b = 4  

Упростите выражение: