Деление рациональных чисел

Как выполнять деление отрицательных чисел легко понять, вспомнив, что деление - это действие, обратное умножению.
Если a и b положительные числа, то разделить число a на число b, значит найти такое число с, которое при умножении на b даёт число a.
Данное определение деления действует для любых рациональных чисел, если делители отличны от нуля.
Поэтому, например, разделить число (- 15) на число 5 - значит, найти такое число, которое при умножении на число 5 даёт число (- 15). Таким числом будет (- 3), так как
(- 3) × 5 = - 15, значит (- 15) : 5 = - 3
Примеры деления рациональных чисел.
10 : 5 = 2, так как 2 × 5 = 10
(- 4) : (- 2) = 2, так как 2 × (- 2) = - 4
(- 18) : 3 = - 6, так как (- 6) × 3 = - 18
12 : (- 4) = - 3, так как (- 3) × (- 4) = 12
Из примеров видно, что частное двух чисел с одинаковыми знаками - число положительное (примеры 1, 2), а частное двух чисел с разными знаками - число отрицательное (примеры 3,4).

Правила деления отрицательных чисел
Чтобы найти модуль частного, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя.
Итак, чтобы разделить два числа с одинаковыми знаками, надо:

• модуль делимого разделить на модуль делителя;
• перед результатом поставить знак «+».

Примеры деления чисел с одинаковыми знаками:
(- 9) : (- 3) = + 3
6 : 3 = 2

Чтобы разделить два числа с разными знаками, надо:

• модуль делимого разделить на модуль делителя;
• перед результатом поставить знак «-».

Примеры деления чисел с разными знаками:
(- 5) : 2 = - 2,5
28 : (- 2) = - 14

Для определения знака частного можно также пользоваться следующей таблицей.
Правило знаков при делении
+ : (+) = + + : (-) = -
- : (-) = + - : (+) = -

При вычислении «длинных» выражений, в которых фигурируют только умножение и деление, пользоваться правилом знаков очень удобно. Например, для вычисления дроби
Можно обратить внимание, что в числителе 2 знака «минус», которые при умножении дадут «плюс». Также в знаменателе три знака «минус», которые при умножении дадут «минус». Поэтому в конце результат получится со знаком «минус».
Сокращение дроби (дальнейшие действия с модулями чисел) выполняется также, как и раньше:
Частное от деления нуля на число, отличное от нуля, равно нулю.
0 : a = 0, a ≠ 0
Делить на ноль НЕЛЬЗЯ!
Все известные ранее правила деления на единицу действуют и на множество рациональных чисел.
а : 1 = a
а : (- 1) = - a
а : a = 1 , где а - любое рациональное число.
Зависимости между результатами умножения и деления, известные для положительных чисел, сохраняются и для всех рациональных чисел (кроме числа нуль):
если a × b = с; a = с : b; b = с : a;
если a : b = с; a = с × b; b = a : c
Данные зависимости используются для нахождения неизвестного множителя, делимого и делителя (при решении уравнений), а также для проверки результатов умножения и деления.
Пример нахождения неизвестного.
x × (- 5) = 10
x = 10 : (- 5)
x = - 2

Вопросы к конспектам

Выполните действие: 

Вычислите: