Энергия магнитного поля

 1. Повторение явления самоиндукции

Изу­чая яв­ле­ние са­мо­ин­дук­ции, при­шли к вы­во­ду о том, что при из­ме­не­нии силы тока, про­те­ка­ю­ще­го через про­вод­ник, в этом же про­вод­ни­ке воз­ни­ка­ет ЭДС ин­дук­ции, пре­пят­ству­ю­щая из­ме­не­нию ос­нов­но­го тока в про­вод­ни­ках. Это при­во­дит к тому, что сила тока в про­вод­ни­ке до­сти­га­ет сво­е­го мак­си­маль­но­го зна­че­ния не мгно­вен­но, а в те­че­ние неко­то­ро­го вре­ме­ни. Дан­ное яв­ле­ние на­блю­да­ет­ся и при раз­мы­ка­нии цепи - сила тока па­да­ет до нуля не мгно­вен­но, а по­сте­пен­но. Яв­ле­ние са­мо­ин­дук­ции свя­за­но с тем, что про­вод­ник с током на­хо­дит­ся в про­стран­стве соб­ствен­но­го маг­нит­но­го по­то­ка и при любом из­ме­не­нии тока в про­вод­ни­ке ме­ня­ет­ся и маг­нит­ный поток, что в свою оче­редь при­во­дит к воз­ник­но­ве­нию ЭДС ин­дук­ции. ЭДС ин­дук­ции опре­де­ля­ет­ся как от­ри­ца­тель­ное от­но­ше­ние из­ме­не­ния силы тока к из­ме­не­нию вре­ме­ни и умно­жен­ное на ин­дук­тив­ность про­вод­ни­ка. А ин­дук­тив­ность опре­де­ля­ет­ся гео­мет­ри­че­ски­ми па­ра­мет­ра­ми про­вод­ни­ка.

(1.1.)

Об­ра­тим вни­ма­ние на то, что при раз­мы­ка­нии цепи, ток в ней хоть и убы­ва­ет, но всё равно су­ще­ству­ет – это до­ка­зы­ва­ет про­цесс пе­ре­но­са за­ря­да, ко­то­ро­му необ­хо­ди­ма энер­гия. Но от­ку­да она бе­рёт­ся? По­сколь­ку ни­ка­ких дру­гих из­ме­не­ний, кроме убы­ва­ния маг­нит­но­го поля во­круг про­вод­ни­ка не про­ис­хо­дит, можно сде­лать пред­по­ло­же­ние, что энер­гия ло­ка­ли­зо­ва­на в маг­нит­ном поле.

 2. Энергия магнитного поля

Необ­хо­ди­мо вы­яс­нить, от­ку­да бе­рёт­ся энер­гия и как её рас­счи­тать?

Рас­смот­рим опыт. Пусть име­ет­ся элек­три­че­ская цепь, в ко­то­рой ка­туш­ка с ин­дук­тив­но­стью (L) по­сле­до­ва­тель­но со­еди­не­на с лам­поч­кой и через пе­ре­клю­ча­тель может быть за­мкну­та либо на ис­точ­ник по­сто­ян­но­го тока (), либо на ре­зи­стор с со­про­тив­ле­ни­ем (R) (рис.1).  

Рис. 1

Если в цепь вклю­чить ам­пер­метр, то можно по­лу­чить гра­фик за­ви­си­мо­сти тока в цепи от вре­ме­ни. Сна­ча­ла, за­мкнём ка­туш­ку на ис­точ­ник ЭДС – в цепи будет про­те­кать ток І (рис. 2).

Рис. 2

            Затем, в неко­то­рый мо­мент вре­ме­ни t₀ пе­ре­клю­чим ключ, за­мы­кая ка­туш­ку на ре­зи­стор R – в цепи будет про­те­кать убы­ва­ю­щий ток. С мо­мен­та вре­ме­ни t₀ до пол­но­го ис­чез­но­ве­ния тока прой­дёт опре­де­лён­ное время, в те­че­ние ко­то­ро­го будет про­ис­хо­дить пе­ре­нос за­ря­да в цепи ка­туш­ки и ре­зи­сто­ра. Сле­до­ва­тель­но, будет со­вер­шать­ся ра­бо­та – убы­ва­ние тока в ка­туш­ке вы­зо­вет яв­ле­ние са­мо­ин­дук­ции и в ней воз­ник­нет ЭДС са­мо­ин­дук­ции. Разо­бьём уча­сток 2 дви­же­ния тока на бес­ко­неч­но малые ин­тер­ва­лы вре­ме­ни ∆t, такие, что на каж­дом ин­тер­ва­ле из­ме­не­ния тока можно счи­тать ли­ней­ны­ми (рис.3).

Рис. 3

На каж­дом таком участ­ке будет со­вер­шать­ся ра­бо­та чис­лен­но рав­ная про­из­ве­де­нию ЭДС ин­дук­ции на пе­ре­но­си­мый за этот ин­тер­вал вре­ме­ни заряд

(1.2.)

(1.3.)

Под­ста­вим вы­ра­же­ние для ЭДС са­мо­ин­дук­ции в ра­бо­ту на ин­тер­ва­ле вре­ме­ни ∆t.

(1.4.)

От­но­ше­ние пе­ре­не­сён­но­го за­ря­да ∆q к ин­тер­ва­лу вре­ме­ни ∆t яв­ля­ет­ся сред­ним зна­че­ни­ем тока на этом эле­мен­тар­ном ин­тер­ва­ле вре­ме­ни.

(1.5.)

Тогда вы­ра­же­ние для ра­бо­ты на эле­мен­тар­ном ин­тер­ва­ле вре­ме­ни при­мет вид.

(1.6.)

Если про­сум­ми­ро­вать ра­бо­ту по всем эле­мен­тар­ным участ­кам ∆t от t₀ до 0 по­лу­чим вы­ра­же­ние для пол­ной ра­бо­ты за весь ин­тер­вал вре­ме­ни.

(1.7.)

Такая ра­бо­та пой­дёт на на­гре­ва­ние про­вод­ни­ков внут­ри ка­туш­ки за­мкну­той на ре­зи­стор.

Вы­ра­зим энер­гию маг­нит­но­го поля, через па­ра­мет­ры маг­нит­но­го поля. Для ка­туш­ки ин­дук­тив­ность равна про­из­ве­де­нию маг­нит­ной по­сто­ян­ной на объём ка­туш­ки и квад­рат числа вит­ков на еди­ни­це длины.

(1.8.)

(1.9.)

Мо­дуль маг­нит­ной ин­дук­ции ка­туш­ки опре­де­ля­ет­ся со­от­но­ше­ни­ем (1.10.).

(1.10.)

Тогда для энер­гии маг­нит­но­го поля по­лу­чим вы­ра­же­ние (1.11.). Раз­де­лим вы­ра­же­ние для энер­гии маг­нит­но­го поля ка­туш­ки на её объём, счи­тая, что всё маг­нит­ное поле со­сре­до­то­че­но в объ­ё­ме ка­туш­ки (1.12.).

(1.11.)

(1.12.)

 3. Плотность энергии магнитного поля

Раз­ви­вая тео­рию элек­тро­маг­не­тиз­ма, Джеймс Кларк Макс­велл по­ка­зал, что по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние для длин­ной ка­туш­ки спра­вед­ли­во для любых маг­нит­ных полей, а по­лу­чен­ная ве­ли­чи­на на­зы­ва­ет­ся плот­ность энер­гии.

 4. Итоги

При за­мы­ка­нии цепи ток на­рас­та­ет не мгно­вен­но, а в те­че­ние неко­то­ро­го вре­ме­ни, по­сколь­ку ис­точ­ник тока дол­жен со­вер­шить ра­бо­ту про­тив ЭДС са­мо­ин­дук­ции. Эта ра­бо­та ак­ку­му­ли­ру­ет­ся в маг­нит­ном поле, ко­то­рое окру­жа­ет про­вод­ник с током. В по­след­ствие, энер­гия маг­нит­но­го поля пре­об­ра­зу­ет­ся в ра­бо­ту вих­ре­во­го элек­три­че­ско­го поля, ко­то­рое воз­ни­ка­ет в про­вод­ни­ке после раз­мы­ка­ния цепи и, затем, неко­то­рое время под­дер­жи­ва­ет ин­дук­ци­он­ный ток в этом про­вод­ни­ке. Энер­гия маг­нит­но­го поля вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле по­ло­ви­на про­из­ве­де­ния ин­дук­тив­но­сти про­вод­ни­ка на квад­рат силы тока, про­те­ка­ю­ще­го через про­вод­ник.     

(1.13.)