Внутренняя энергия и работа в термодинамике
Понятие внутренней энергии
Для описания состояния вещества используют понятие внутренняя энергия. Это суммарная энергия составляющих его молекул. Мы уже встречали это понятие, когда изучали закон сохранения в механике. При неупругом столкновении механическая энергия не оставалась постоянной, часть энергии превращалась именно во внутреннюю энергию.
Неупругое столкновение
Приведу пример:
Рис. 1. Движение шариков
Если два пластилиновых шарика, обладающих одинаковыми массами, будут двигаться с одинаковыми скоростями навстречу друг другу (рис. 1), то при абсолютно неупругом столкновении они слипнутся и остановятся. В этом можно убедиться, записав закон сохранения импульса в проекциях на горизонтальную ось: 
.
До столкновения суммарная кинетическая энергия системы была равна: 
.
После столкновения, так как шарики остановились, кинетическая энергия системы стала равна: 
.
Итак, энергия, потерянная системой (в данном случае была потеряна вся кинетическая энергия) перешла во внутреннюю энергию шариков. То есть молекулы или атомы, из которых состоит вещество, приобрели дополнительную кинетическую энергию, стали двигаться быстрее.
Помимо этого, с понятием внутренней энергии мы сталкивались в молекулярно-кинетической теории, когда вводили один из макропараметров – температуру. Температура является мерой внутренней энергии вещества. Если речь идёт об идеальном или разреженном реальном газах, мы можем пренебречь потенциальной энергией взаимодействия его частиц. В этом случае температура будет пропорциональна средней кинетической энергии движения молекул. Почему средней? Потому что количество молекул в рассматриваемом количестве вещества, как правило, огромно. Нас не интересует энергия каждой отдельной молекулы, поэтому проводится статистическая обработка и используется средняя энергия. Для плотных газов, жидкостей и твердых тел выразить внутреннюю энергию через макроскопические параметры значительно труднее. В частности, внутренняя энергия газа при очень большой плотности может зависеть и от объема, так как при малых расстояниях между молекулами существенный вклад во внутреннюю энергию вносит потенциальная энергия взаимодействия между частицами.
Итак, связь температуры и средней кинетической энергии для идеального и разреженного реального газов имеет следующий вид: 
.
А внутренняя энергия таких газов будет равна суммарной кинетической энергии всех молекул. То есть произведению средней кинетической энергии молекул на их количество:
Внутренняя энергия обычно обозначается большой латинской буквой U и измеряется в джоулях.
Внутренняя энергия одноатомного газа
Если газ одноатомный, то его молекулы можно считать материальными точками, которые движутся исключительно поступательно (отсутствует кинетическая энергия вращательного и колебательного движений). В этом случае, подставив выражение для средней кинетической энергии движения молекул в выражение для внутренней энергии газа, получим: 
.
Выразим N через количество вещества: 
.
С учётом этого: 
.
Произведение постоянной Больцмана и числа Авогадро называется универсальной газовой постоянной и обозначается большой латинской буквой R.
Таким образом, выражение для внутренней энергии одноатомного идеального или разреженного реального газов принимает следующий вид: 
.
Внутренняя энергия с двумя и более атомами в молекуле
Обратите внимание, что мы рассматривали именно одноатомный газ. Для идеального газа из молекул с двумя, тремя или большим числом атомов требуется учет кинетической энергии вращения молекул (их уже нельзя считать материальными точками), поэтому выражение для их внутренней энергии отличается от 
, но отличается только числовым коэффициентом.
Для двухатомного газа (например, 
, 
, CO и пр.) (рис. 2): 
.
Рис.2. Молекулы двухатомных газов
Для газа с тремя атомами и более (например, 
, 
) (рис. 3):
Рис.3. Газ с тремя и более атомами
Чтобы изменить внутреннюю энергию вещества, нужно передать ему некоторое количество теплоты либо совершить над ним работу. Существует несколько видов теплопередачи – и с ними вы можете познакомиться в ответвлении.
Виды теплопередачиСуществует три вида теплопередачи. 1) Теплопроводность – это процесс переноса энергии от более нагретых частей тела к менее нагретым, осуществляемый хаотически движущимися частицами тела (атомами, молекулами, электронами и т.п.). Простой пример – нагревание ложки в горячем чае. 2) Конвекция – вид теплопередачи, при котором внутренняя энергия передается струями или потоками жидкости, или газа. Пример: проветривание комнаты. 3) Излучение – процесс переноса энергии посредством электромагнитного излучения. Простой пример: солнечный свет. Количество переданной при теплообмене внутренней энергии называют количеством теплоты. Обычно ее обозначают Q и считают положительной, если тело принимает теплоту, и отрицательной, если отдает |
Мы же сегодня подробнее остановимся на втором способе изменения внутренней энергии вещества – совершении работы.
Задача 1
При уменьшении объёма одноатомного газа в 3,6 раза его давление увеличилось на 20%. Во сколько раз изменилась внутренняя энергия.
Давайте порассуждаем:
- формулу для нахождения внутренней энергии одноатомного газа мы знаем: ;
- состояние газа в любой момент времени описывается уравнением Менделеева – Клапейрона.
Решение
Запишем уравнение состояния идеального газа для двух состояний. До уменьшения объёма и после.
Запишем выражения для внутренней энергии газа в этих состояниях:
Мы получили систему из 4 уравнений, решив которую мы сможем найти искомое соотношение: 
.
Пронаблюдать подробное решение системы вы можете в ответвлении.
Подробное решение системы
Выразим из первого уравнения температуру: И подставим её в третье уравнение: Аналогично выразим температуру из второго уравнения и подставим в четвёртое: Из условий задачи известно, что объём уменьшился в 3,6 раза, значит: Давление, согласно условиям, возросло на 20%, значит: Подставим это в выражение для И найдём соотношение Следовательно, внутренняя энергия газа уменьшилась в 3 раза. Задача решена |
В механике работа силы определяется как скалярное произведение векторов силы и перемещения тела: 
.
(θ – угол между векторами силы и перемещения) (рис. 4).
Рис. 4. Угол между векторами силы и перемещения
Работа силы положительна, если вектор силы имеет положительную проекцию на перемещение (
), и отрицательна, если эта проекция отрицательна (
). Механическая работа меняет механическую энергию тела. В термодинамике то же самое. К примеру, если газ двигает поршень, расширяясь, то у нас, как и в механике есть и сила, и перемещение. Разница только в том, что при совершении работы в термодинамике меняется не кинетическая или потенциальная энергия газа как целого тела, а кинетическая энергия его молекул, то есть внутренняя энергия газа.
Поскольку внутренняя энергия газа есть не что иное, как кинетическая энергия составляющих его частиц, газ может сам совершать работу, например, при нагревании расширяясь и передвигая поршень. Охлаждение газа, находящегося в неизменном объеме, наоборот, означает уменьшение энергии частиц и уменьшение давления на ограничивающую его поверхность. Все описанные явления ясны нам из повседневного опыта, а точное вычисление происходящих изменений можно провести, используя уравнение состояния идеального газа.
Задача 2. Работа газа при изобарном и изотермической процессах
Давайте найдем работу, которую совершит газ при изобарном расширении.
Пусть газ находится под подвижным поршнем. Он нагревается и расширяется, при этом поршень поднимается. Газ и до расширения, и после был под давлением атмосферы и давлением одного и того же поршня, то есть давление действительно не менялось и процесс изобарный (рис. 5).
Рис. 5. Газ до расширения и после
Работа по определению равна силе, умноженной на перемещение: 
.
Работу по перемещению поршня на высоту 
выполняет сила, с которой газ действует на поршень. Эту силу можно выразить через параметр, который мы используем при описании состояния газа – давление. Давление, по определению, равно силе, деленной на площадь: 
. Тогда сила равна: 
.
Помня, что объем цилиндра – это площадь основания, умноженная на высоту, подставим в формулу для работы: 
.
В итоге формула для нахождения работы газа при изобарном процессе примет следующий вид: 
.
Это работа, которую выполнял газ (то есть выполняла сила, с которой газ действовал на поршень). По третьему закону Ньютона, эта сила по модулю равна силе, с которой поршень действовал на газ, и противоположна ей по направлению. Обозначим силу, действовавшую на газ: 
. Ее работа равна: 
.
Если 
мы считали работой, которую совершил газ, то 
– работа, совершенная над газом. Часто эти работы обозначают наоборот: – работа газа, 
– работа над газом. Это не имеет принципиального значения, главное – условиться об обозначениях и в рамках задачи пользоваться именно ими.
Относительно работы, совершаемой газом, можно сделать общий вывод: при расширении газа работа, производимая газом, положительна, т.к. сила давления направлена в сторону перемещения (расширения) (рис. 6); при сжатии работа газа отрицательна, т.к. сила и перемещение (сжатие) направлены противоположно (рис. 7). Работа внешних сил, наоборот, положительна при сжатии газа и отрицательна при расширении. При сжатии газа его внутренняя энергия увеличивается за счёт работы внешних сил. При расширении сам газ совершает работу, поэтому теряет часть внутренней энергии.
Рис. 6. Расширение газа
Рис. 7. Сжатие газа
Геометрически формула 
при некотором 
дает площадь прямоугольника abcd на графике 
(рис. 8).
Рис. 8. График зависимости давление от объема (изобарный процесс)
В общем случае давление не поддерживается постоянным. Например, в изотермическом процессе давление меняется обратно пропорционально объёму. Но и в этом случае работа газа равна площади под кривой (рис. 9).
Рис. 9. График зависимости давления от объема (изотермический процесс)
Эту площадь можно вычислить, разбив изменение объема на малые участки, вычислив площади малых полосок (похожих на прямоугольники) и просуммировав эти площади (рис. 10).
Рис. 10. Разбивка объема на малые участки
Процедура, смысл которой я описал, называется интегрированием. Её вы будете изучать на математике в 11 классе, поэтому сейчас я просто приведу готовую формулу для работы в изотермическом процессе: 
.
В изохорном процессе – объём остаётся постоянным, а значит, работа не совершается.
Задача 3
В вертикально расположенном цилиндре с площадью основания 1 дм2 под поршнем массой 10 кг скользящим без трения находится воздух. При изобарном нагревании воздуха поршень поднялся на 20 см. Какую работу совершил воздух, если наружное давление 100 кПа (рис. 11).
Рис. 11. Рисунок к задаче
Давайте порассуждаем:
- процесс изобарный. Работа при изобарном процессе находится по следующей формуле: ;
- нам дана площадь основания цилиндра и расстояние, на которое поднялся поршень, значит, мы легко найдём изменение объёма: 
;
- чтобы найти давление газа под поршнем запишем условия равновесия поршня по первому закону Ньютона в любом из положений.
Решение
Итак, запишем первый закон Ньютона для поршня. На него действует сила тяжести mg. Снизу давит газ с силой 
. Cверху давит атмосфера с силой 
Все силы действуют вдоль одной вертикальной прямой, значит, нам будет достаточно одной координатной оси. Направим её вертикально вниз (рис. 12) и запишем первый закон Ньютона в проекциях: 
.
Рис. 12. Направление оси Ох
Вместе с выражением для работы, о котором я говорил в рассуждениях, 
. И вместе с выражением для изменения объёма: .
Мы получили систему из трёх уравнений, решив которую найдём искомую работу, совершенную газом. Математическое решение системы вы можете пронаблюдать в свёртке.
Математическая часть решения задачи
|
Выразим давление газа под поршнем из первого уравнения:
Теперь подставим полученное выражение для давления газа, а также выражение для изменения объёма из третьего уравнения – во второе уравнение:
Остаётся подставить числа и посчитать ответ: 220 Дж |
