Решение задач на расчет давления

1. Задача №1

Маль­чик мас­сой 48 кг ока­зы­ва­ет дав­ле­ние на опору. Рас­счи­тай­те, какое дав­ле­ние он ока­зы­ва­ет, если общая пло­щадь его по­дошв со­став­ля­ет 320 см².

Про­ана­ли­зи­ро­вав усло­вие, за­пи­шем его в крат­кой форме, ука­зав массу маль­чи­ка и пло­щадь его по­дошв (Рис. 1). Затем в от­дель­ной ко­лон­ке за­пи­шем в си­сте­ме СИ те ве­ли­чи­ны, ко­то­рые в усло­вии при­ве­де­ны во вне­си­стем­ных еди­ни­цах. Масса маль­чи­ка при­ве­де­на в си­сте­ме СИ, а вот пло­щадь, вы­ра­жен­ную в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах, сле­ду­ет вы­ра­зить в квад­рат­ных мет­рах:

320 см² = 320∙(0,01 м)² = 320∙0,0001 м² = 0,032 м².

Рис. 1. Крат­кое усло­вие за­да­чи №1

Для на­хож­де­ния дав­ле­ния нам необ­хо­ди­мо силу, с ко­то­рой маль­чик дей­ству­ет на опору, раз­де­лить на пло­щадь опоры:

Зна­че­ние силы нам неиз­вест­но, од­на­ко в усло­вие за­да­чи вхо­дит масса маль­чи­ка. Сила, с ко­то­рой он дей­ству­ет на опору, – это его вес. Пред­по­ла­гая, что маль­чик непо­дви­жен, можно счи­тать, что его вес равен силе тя­же­сти, ко­то­рая равна про­из­ве­де­нию массы маль­чи­ка на уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния

Те­перь мы можем объ­еди­нить обе фор­му­лы в одну ко­неч­ную. Для этого вме­сто силы F мы под­ста­вим в первую фор­му­лу про­из­ве­де­ние mg из вто­рой фор­му­лы. Тогда рас­чет­ная фор­му­ла будет иметь вид:

Сле­ду­ю­щий этап – про­вер­ка раз­мер­но­сти по­лу­чен­но­го ре­зуль­та­та. Раз­мер­ность массы [m] = кг, раз­мер­ность уско­ре­ния сво­бод­но­го па­де­ния [g] = Н/кг, раз­мер­ность пло­ща­ди [S] = м². Тогда

На­ко­нец, под­ста­вим чис­ло­вые дан­ные из усло­вия за­да­чи в ко­неч­ную фор­му­лу:

Не за­бы­ва­ем за­пи­сать ответ. В от­ве­те мы можем ис­поль­зо­вать крат­ные ве­ли­чи­ны

Ответ: p = 15 кПа.

(Если в от­ве­те вы за­пи­ше­те = 15 000 Па, то тоже будет пра­виль­но.)

Пол­ное ре­ше­ние в окон­ча­тель­ном виде будет вы­гля­деть так (Рис. 2):

Рис. 2. Пол­ное ре­ше­ние за­да­чи №1

2. Задача №2

Бру­сок дей­ству­ет на опору с силой 200 Н, при этом он ока­зы­ва­ет дав­ле­ние 4 кПа. Ка­ко­ва пло­щадь опоры брус­ка?

За­пи­шем крат­кое усло­вие и вы­ра­зим дав­ле­ние в си­сте­ме СИ (4 кПа = 4000 Па) (Рис. 3).

Рис. 3. Крат­кое усло­вие за­да­чи №2

Ве­ли­чи­на пло­ща­ди по­верх­но­сти вхо­дит в из­вест­ную нам фор­му­лу для рас­че­та дав­ле­ния.

Из этой фор­му­лы нам необ­хо­ди­мо вы­ра­зить пло­щадь опоры. Вспом­ним ма­те­ма­ти­че­ские пра­ви­ла. Сила F – де­ли­мое, пло­щадь опоры S – де­ли­тель, дав­ле­ние p – част­ное. Чтобы найти неиз­вест­ный де­ли­тель, необ­хо­ди­мо де­ли­мое раз­де­лить на част­ное. Мы по­лу­чим:

Про­ве­рим раз­мер­ность по­лу­чен­но­го ре­зуль­та­та. Пло­щадь долж­на вы­ра­жать­ся в квад­рат­ных мет­рах.

Вы­пол­няя про­вер­ку, мы пас­ка­ли за­ме­ни­ли нью­то­на­ми на квад­рат­ный метр, а дроб­ную черту – зна­ком де­ле­ния. Вспом­ним, что де­ле­ние дро­бей за­ме­ня­ет­ся умно­же­ни­ем. При этом дробь, ко­то­рая яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем, пе­ре­во­ра­чи­ва­ет­ся, то есть ее чис­ли­тель и зна­ме­на­тель ме­ня­ют­ся ме­ста­ми. После этого нью­тон в чис­ли­те­ле (перед дро­бью) и нью­тон в зна­ме­на­те­ле дроби со­кра­ща­ют­ся, и оста­ют­ся квад­рат­ные метры.

От­ме­тим, что про­вер­ка раз­мер­но­сти яв­ля­ет­ся очень важ­ным эта­пом ре­ше­ния за­да­чи, так как поз­во­ля­ет об­на­ру­жить ошиб­ки, слу­чай­но до­пу­щен­ные при вы­пол­не­нии ма­те­ма­ти­че­ских пре­об­ра­зо­ва­ний.

После про­вер­ки раз­мер­но­сти ре­зуль­та­та про­ве­дем рас­чет чис­ло­во­го зна­че­ния пло­ща­ди, под­став­ляя дан­ные из крат­ко­го усло­вия:

Не за­бу­дем за­фик­си­ро­вать ответ.

Ответ: S = 0,05 м².

Пол­но­стью оформ­лен­ное ре­ше­ние за­да­чи будет вы­гля­деть так (Рис. 4):

Рис 4. Пол­ное ре­ше­ние за­да­чи №2