Основные методы решения неравенств и их систем

    Неравенством называется запись, в которой функции соединены знаком (или несколькими знаками) отношения">", "<", "≤", "≥".

Неравенства, содержащие два знака отношения, называются двойными, три знака отношения — тройными и т.п. Примеры таких неравенств:

• f(x) > g(x),
• f(x) < g(x),
• f(x) ≤ g(x),
• f(x) ≥ g(x).

   f(x) < h(x) < g(x) это пример двойного неравенства.

    Неравенства f(x) > g(x),  f(x) < g(x),  называются  строгими,  а  неравенства f(x) ≤ g(x),  f(x) ≥ g(x) - нестрогими.

    Решением неравенства, называется всякое значение переменой, при котором  данное  неравенство  верно.  Например,  решением  неравенства f(x) > g(x) является всякое значение переменной x = a, при котором справедливо неравенство f(a) > g(a), или функция f(x) при x=a принимает большее значение чем функция g(x).

    Задание "решить неравенство" означает, что требуется найти множество всех его решений. Это множество может оказаться пустым — в случае, когда решений нет. Множество всех решений неравенства будем называть его ответом.

    Неравенство В называется следствием неравенства А, если всякое решение А является решением неравенства В. В этом случае используется запись АВ. Два неравенства А и В называются равносильными (или эквивалентными пишем АВ либо А ~ В),если их ответы совпадают. Если АВ и ВА неравенства А и В эквивалентны.

    Запись нескольких неравенств под знаком фигурной скобки называется системой (число и вид неравенств, входящих в систему, может быть произвольным). Решение системы неравенств есть пересечение решений всех входящих в нее неравенств. Двойное неравенство f(x) < g(x) < h(x) можно записать в виде системы:

    Запись нескольких неравенств, объединенных квадратной скобкой, называется совокупностью данных неравенств. Решение совокупности есть объединение решений входящих в нее неравенств.

Пример 1. 

Решить неравенство  

Решение.

Частное двух чисел положительно в том случае, когда и делимое, и делитель положительны, или они отрицательны. Опираясь на это утверждение составим совокупность двух систем неравенств.

Сначала решим систему неравенств 

Первая система равносильна неравенству х > 1.

Теперь, решаем систему неравенств: 

Вторая система равносильна неравенству x < -1.

    Решение (множество значений переменной обращающих данное неравенство в истинное числовое неравенство) искомого неравенства можно записать несколькими способами:

1. x > 1 и x < -1
2. 
3. x(-; -1)(1; +)

Сформулируем несколько часто используемых при отыскании решений свойств неравенств, все они уже знакомы Вам.

1. К обеим частям неравенства можно прибавить одну и туже функцию определенную в ОДЗ данного неравенства. Если f(x) > g(x) и h(x) - любая функция определенная в ОДЗ данного неравенства, то f(x) + h(x) > g(x) + h(x)
2. Если обе части неравенства умножить на положительную функцию, определенную в ОДЗ данного неравенства (или на положительное число), то получим неравенство, равносильное исходному неравенству:  если f(x) > g(x) и h(x) > 0, то f(x)h(x) > g(x)h(x)
3. Если обе части неравенства умножить на отрицательную функцию, определенную в ОДЗ данного неравенства (или на отрицательное число) и знак неравенства изменить на противоположный, то полученное неравенство эквивалентно данному неравенству: если  f(x) > g(x) и h(x) < 0, то f(x)h(x) < g(x)h(x)
4. Неравенства одинакового смысла можно почленно складывать. Если f(x) > g(x) и m(x) > h(x), то f(x) + m(x) > g(x) + h(x).
5. Неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать  если  f(x) > g(x) и h(x) < m(x), то f(x) - h(x) < g(x) - m(x).
6. Неравенства одного смысла с положительными частями можно почленно умножать.  Если f(x) > g(x) > 0 и  m(x) > h(x) > 0 , то  f(x) g(x) > m(x) h(x).
7. Неравенства, образованные неотрицательными функциями, можно почленно  возводить  в  положительную  степень:  если f(x) > g(x) > 0 и m > 0, то (f(x))^m > (g(x))^m.

    Иногда, решая неравенство, приходится переходить к неравенству - следствию, т.е. выполнять неравносильное преобразование (как правило, связанные с расширением ОДЗ): заменить функцию f(x) — f(x) нулем, сократить неравенство f{x)g{x) > f(x)h{x) на общий положительный множитель f{x) и т.п. Решения, найденные в результате этих действий, могут оказаться посторонними. Перед записью ответа их следует "отсечь"посторонние решения.

    Пусть M – множество допустимых значений переменной х данного неравенства (ОДЗ). B – множество найденных решений неравенства. A множество решений данного неравенства. Тогда A = BM.

Пример 2.

Решить неравенство    (1).

Решение.

Вычтем из обеих частей неравенства функцию  получим равенство 3x > 9.

Разделим обе части полученного неравенства на положительное число 3  в результате получим x > 3   (2). Выполнив это преобразование, мы заменили неравенство (1) неравенством (2). Эти неравенства не равносильны (1)(2).

M = (-; 8)(8; +) - ОДЗ неравенства (1).

В = (3; +) - это решение неравенства (2).

Найдем множество решений неравенства (1) 

A = BM = (-; 8)(8; +)(3; +) = (3; 8)(8; +)

Ответ: x(3; 8)(8; +). 

Метод интервалов

Метод интервалов часто используют при решения неравенств. Он позволяет свести решение неравенства f(x) > 0 (<, <, >) к решению уравнения f(x) = 0.

Метод заключается в следующем:

1. Находится ОДЗ неравенства.
2. Неравенство приводится к виду f(x) > 0(<, <, >) (т.е. правая часть переносится влево) и упрощается.
3. Решается уравнение f(x) = 0.
4. Метод интервалов часто используют при решения неравенств. Он позволяет свести решение неравенства f(x) > 0 (≥, <, ≤) к решению уравнения f(x) = 0. Метод заключается в следующем: интервалы состоят из неокрашенных точек, если неравенство строгое, и закрашенных, если оно нестрогое.
5. Все точки, отмеченные на ОДЗ и ограничивающие его, разбивают это множество на так называемые интервалы знакопостоянства. На каждом таком интервале определяется знак функции f(х).
6. Ответ записывается в виде объединения  отдельных  множеств, на  которых f{x) имеет соответствующий знак. Точки, отмеченные закрашенными кружками, в ответ входят, отмеченные пустыми - нет. Точки ОДЗ, являющиеся граничными, включаются (или не включаются) в ответ после дополнительной проверки.

Метод интервалов основан на том, что непрерывная функция f(x) может изменить знак либо в граничных точках ОДЗ, где она "разрывается", либо проходя через ноль, т.е. в точках, являющиеся корнях уравнения f(x) = 0. Ни в каких других точках перемены знака не происходит.

Пример 3. 

Решить неравенство .

Решение.

ОДЗ:  откуда имеем x[-1; 5)(5; +)

Решим уравнение  Числитель дроби равен 0 при x = -1, это и есть корень уравнения. Отметим найденный корень на чертеже (черным кружком, т.к. неравенство нестрогое), предварительно отметив ОДЗ:

Чтобы определить знак на промежутке (-1; 5) возьмем число 0, ,

Чтобы определить знак на втором промежутке возьмем число 8, .

Точки 0 и 8 выбирались произвольно, но так, чтобы упростить процесс вычисления каждого значения функции.

Ответ: (-5; +).

Пример 4. 

Решить неравенство .

Решение.

Используя свойство частного и определение квадратного корня делаем вывод, что  

 откуда  ОДЗ: x[0; 1)(1; 7)(7; +)

Решим уравнение

x = 1.

На промежутке (0;1) возьмем точку 0,5;

На промежутке (1; 7) возьмем точку 4,

;

На промежутке (7; +) возьмем точку 9,

Расставим знаки на координатной прямой.

Таким образом, решением данного неравенства является множество чисел принадлежащих промежутку (0; 1)(1; 7).

Эти примеры наглядно демонстрируют, что промежутки знакопостоянства не обязательно чередуются, процесс определения знака на промежутке может оказаться довольно трудной задачей.

Полезно запомнить следующее.

 Если функция представляет собой произведение нескольких не повторяющихся множителей, имеющих вид (ax + b), где a > 0, то знаки функции на промежутках справа на лево чередуются с "плюса" на "минус"... Если какой-то множитель повторяется четное число раз, то при переходе через эту точку смены знака не происходит. В примере №4 Такой точкой была точка 1

 

Пример 5. 

Решить неравенство (2x - 6)(3x + 12)(5x + 1) < 0.

Решение.

Нули функции: - 4; - 0,2; 3.

Функция в левой части неравенства представляет собой произведение не повторяющихся множителей, значит знаки  этой функции чередуются cправа на лево с "+" на "-" ....