Показательные неравенства и их системы

Показательными неравенствами называются неравенства вида а^f(x) > а^g(x)  ,  где 

а – положительное число, отличное  от нуля, и неравенства, сводящиеся к этому виду f(x) > q(x).

Основные свойства степеней, при помощи которых преобразуются показательные неравенства, перечислены в теоретических материалах  по теме «Показательные уравнения».Кроме того, пользуются также следующими свойствами показательной функции

у = а^х, a > 0; a ≠ 1

1. a^x > 0 при всех a > 0 и xR;
2. при а > 1 функция y = a^x возрастает, т.е. если а > 1 и а^х₁ > a^x₂  x₁ > x₂;
3. при 0 < a < 1 функция y = a^x убывает, т.е. если 0 < a < 1 и а^х₁ > a^x₂  x₁ < x₂;

Пример 1.

2^2х-4  >  64

2^2х-4  >  2⁶

2х – 4 >  6

2х  >  10 

х >  5

Ответ:  х  >  5

Пример 2. 

(0,2)^х  ≥  0,04

(0,2)^х  ≥  (0,2)²

х  ≤  2   

Ответ: х  ≤  2

Примечание:

     При решении систем показательных уравнений и неравенств, применяются те же приемы, что при решении систем алгебраических уравнений и неравенств (метод подстановки, метод сложения, метод введения новых переменных). Во многих случаях, прежде чем применить тот или иной метод решения, следует преобразовать каждое уравнение (неравенство) системы к возможно более простому виду.

Вопросы к конспектам