Показательные уравнения и их системы

Показательными уравнениями называются уравнения вида  а^f(x) =  а^q(x), где а – положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому уравнению

Способы решения показательных уравнений

Первый способ

Приведение обеих частей уравнения к одному и тому же основанию.

Пример:

2^х = 32,

так как 32= 2⁵, то имеем:

2^х  = 2⁵

х = 5.

Второй способ

Путем введения новой переменной приводят уравнение к квадратному

Пример:   

4^х  + 2^х+1 – 24 = 0

Решение:

Заметив , что 4^х = (2²)^х = (2^х)²  и  2^х+1 = 2^х * 2¹ , запишем уравнение в виде: (2^х)² + 2 * 2^х  –  24 = 0,

Введем новую переменную  2^х = у;

Тогда уравнение примет вид:

У²  + 2у – 24 = 0

Д = в² – 4ас  = 2² – 4 * 1 * (–24) = 100 > 0, находим у₁ = 4, у₂ = – 6.

Получаем два уравнения:

2^х= 4  и  2^х = – 6

2²  = 2²        корней нет.

х = 2.

 Третий способ

Вынесение общего множителя за скобки

Пример:

3^х –– 3^х+3 = –78

3^х – 3^х * 3³ = –78

3^х * (1 –3³) = –78

3^х * (–26) =  – 78

3³ = – 78 : ( –26)

3^х  =  3

x  =  1.

Четвертый способ

Графический: построение графиков функций в одной системе координат

Пример:

4^х  =  х  +  1

Ответ: х = -0,5, х = 0.