Логарифмические уравнения и их системы

Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим

log_ax = b, где а > 0 и а ≠ 1

Методы решения логарифмических уравнений

По определению логарифма;
Метод введения новой переменной;
Метод потенцирования;
Функционально-графический;
Метод приведения к одному основанию;

Метод логарифмирования

Логарифмические уравнения, решаемые с помощью основного логарифмического тождества

Суть данного метода в переходе от уравнения $begin mathsize 12px style a to the power of log subscript a f open parentheses x close parentheses end exponent equals g open parentheses x close parentheses end style$ к уравнению f(x) = g(x)

При решении логарифмических уравнений данным методом также могут появиться посторонние корни.

Решите уравнение:

$begin mathsize 12px style 9 to the power of log subscript 3 open parentheses 1 minus 2 x close parentheses end exponent equals 5 x squared minus 5 end style$

Решение:

О.Д.З.: $begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell 1 minus 2 x greater than 0 end cell row cell 5 x squared minus 5 greater than 0 end cell end table close rightwards double arrow end style$ $begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x greater than 1 half end cell row cell open vertical bar x close vertical bar greater than 1 end cell end table close rightwards double arrow end style$ x < -1

$begin mathsize 12px style 3 to the power of 2 log subscript 3 open parentheses 1 minus 2 x close parentheses end exponent equals 5 x squared minus 5 end style$

$begin mathsize 12px style 3 to the power of log subscript 3 open parentheses 1 minus 2 x close parentheses squared end exponent equals 5 x squared minus 5 end style$

$begin mathsize 12px style open parentheses 1 minus 2 x close parentheses squared equals 5 x squared minus 5 end style$

$begin mathsize 12px style x squared plus 4 x minus 6 equals 0 end style$

$begin mathsize 12px style x subscript 1 equals negative 2 minus square root of 10 comma end style$ $begin mathsize 12px style x subscript 2 equals negative 2 plus square root of 10 comma end style$

Из двух полученных корней только корень $begin mathsize 12px style x subscript 1 equals negative 2 minus square root of 10 comma end style$ принадлежит О.Д.З.,

а $begin mathsize 12px style x subscript 2 equals negative 2 plus square root of 10 end style$ не принадлежит О.Д.З. и, следовательно, является посторонним корнем.

Ответ: $begin mathsize 12px style open curly brackets negative 2 plus square root of 10 close curly brackets end style$

Решите уравнение:

$begin mathsize 12px style 4 to the power of log subscript 64 open parentheses x minus 3 close parentheses plus log subscript 2 25 end exponent equals 50. end style$

Решение:

О.Д.З.: x - 3 > 0 x > 3

$begin mathsize 12px style 2 to the power of 2 log subscript 2 6 open parentheses x minus 3 close parentheses plus 2 log subscript 2 5 end exponent equals 50 end style$

$begin mathsize 12px style 2 to the power of 1 third log subscript 2 open parentheses x minus 3 close parentheses plus 2 log subscript 2 5 end exponent equals 50 end style$

$begin mathsize 12px style 2 to the power of cube root of x minus 3 end root 25 end exponent equals 50 end style$

$begin mathsize 12px style 25 cube root of x minus 3 end root equals 50 end style$

$begin mathsize 12px style cube root of x minus 3 end root equals 2 rightwards double arrow x minus 3 equals 8 end style$

x = 11 > 3 - принадлежит О.Д.З.

Ответ: {11}.

Решите уравнение:

$begin mathsize 12px style 5 to the power of log 5 x end exponent l g 4 equals open parentheses 2 asterisk times 9 to the power of x minus 6 to the power of x close parentheses end style$

Решение:

x*lg4 = lg(2*9^x- 6^x)

lg4x = lg(2*9^x - 6^x)

2^2x = 2*3^2x - 2^x*3^x

2^2x + 2^x * 3^x - 2 * 3^2x = 0 |:3^2x≠ 0 $begin mathsize 12px style open parentheses 2 over 3 close parentheses to the power of 2 x end exponent plus open parentheses 2 over 3 close parentheses to the power of x minus 2 minus equals 0 comma end style$ обозначим $open parentheses size 12px 2 over size 12px 3 close parentheses to the power of size 12px x equals y$

тогда:

y² + y - 2 = 0

y₁ = 1, y₂ = -2 < 0 - посторонний корень

$begin mathsize 12px style open parentheses 2 over 3 close parentheses to the power of x equals 1 end style$

x = 0 - посторонний корень, так как log₅0 не существует

Ответ: решений нет.

Решите уравнение:

а) log₅ (x² - 11x + 43) = 2

Решение:

По определению логарифма: x² - 11x + 43 = 25 x² - 11x + 18 = 0 x₁ = 2, x₂ = 9 Проверкой убеждаемся, что оба корня удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: {2; 9}

Метод разложения на множители

Решите уравнение:

$begin mathsize 12px style square root of 3 x plus 18 end root asterisk times log subscript 4 open parentheses x plus 4 close parentheses equals 0 end style$

Решение:

$begin mathsize 12px style square root of 3 x plus 18 end root equals 0 end style$ или $begin mathsize 12px style log subscript 4 open parentheses x plus 4 close parentheses equals 0 end style$

3x + 18 = 0 x + 4 = 1

x₁ = -6 x₂= -3

Сделав проверку, получаем, что корень X₁= -6 не подходит.

Ответ: 3

Решите уравнение:

(x² - 18x + 77)*( $begin mathsize 12px style log subscript x over 2 end subscript end style$ 8x + 3) = 0

Решение:

О.Д.З.: x > 0, x ≠ 2

x2 - 18x + 77 = 0 или $begin mathsize 12px style log subscript x over 2 end subscript end style$ 8x + 3 = 0

x₁ = 7 - принадлежит О.Д.З. $begin mathsize 12px style open parentheses 1 half close parentheses to the power of negative 3 end exponent equals 8 x end style$

x₂= 11 - принадлежит О.Д.З. $begin mathsize 12px style 8 over x cubed equals 8 x end style$

x⁴ - 1 = 0

x₃ = 1 - принадлежит О.Д.З.

x₄ = -1 - не принадлежит О.Д.З.

Ответ: {1; 7; 11}

Метод логарифмирования обеих частей уравнения

При решении уравнений, содержащих переменную и в основании, и в показателе

степени, используется метод логарифмирования. Если при этом в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо прологарифмировать по основанию этого логарифма.

Решите уравнение:

x^log₂x+2 - 8 = 0

Решение:

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2.

log₂(x^log2x+2) = log₂8

(log₂x + 2)log₂x = 3

$begin mathsize 12px style log subscript 2 superscript 2 x end style$ + 2log₂x - 3 = 0

Замена: log₂x = y

y² + 2y - 3 = 0

y₁ = 1, y₂ = -3

1. log₂x = 1 x₁ = 2
2. log₂x = -3 x₂ = $begin mathsize 12px style 1 over 8 end style$

Проверка:

1. x = 2; 2^log₂2+2 = 8; 2³ = 8 - верно
2. x = $begin mathsize 12px style 1 over 8 end style$ ; $begin mathsize 12px style open parentheses 1 over 8 close parentheses to the power of log 2 1 over 8 end exponent end style$ + 2 = 8; $begin mathsize 12px style open parentheses 1 over 8 close parentheses to the power of negative 1 end exponent end style$ = 8 - верно

Ответ: { $begin mathsize 12px style 1 over 8 end style$ , 2}.

Решите уравнение:

x^log₃x = 9x

Решение:

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3.

log₃x^log₃x = log₃9x

$begin mathsize 12px style log subscript 3 superscript 2 x end style$ = 2 + log₃x

$begin mathsize 12px style log subscript 3 superscript 2 x end style$ - log₃x - 2 = 0

Замена: log₃x = t

t² - t - 2 = 0

t₁ = -1, t₂ = 2

1. log₃x = -1 x₁ = $begin mathsize 12px style 1 third end style$
2. log₃x = 2 x₂ = 9

Проверка:

1. x₁ = $begin mathsize 12px style 1 third end style$ ; $begin mathsize 12px style open parentheses 1 third close parentheses to the power of log 3 1 third end exponent end style$ = 9 * $begin mathsize 12px style 1 third end style$
2. x₂ = 9; $begin mathsize 12px style open parentheses 9 close parentheses to the power of log 3 to the power of 9 end exponent end style$ = 81

$begin mathsize 12px style open parentheses 1 third close parentheses to the power of negative 1 end exponent end style$ = 3 - верно

9² = 81 - верно

Ответ: { $begin mathsize 12px style 1 third end style$ ; 9}.

Решите уравнение:

^{$begin mathsize 12px style x to the power of fraction numerator l g x plus 5 over denominator 3 end fraction end exponent end style$} = 10^5+lgx.

Решение:

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10.

О.Д.З.: x > 0

$begin mathsize 12px style fraction numerator open parentheses l g x plus 5 close parentheses l g x over denominator 3 end fraction equals 5 plus l g x end style$

lg²x + 2lgx - 15 = 0

Замена: lgx = t

t² + 2t - 15 = 0

t₁ = -5, t₂ = 3

lgx = -5 x₁ = 10^-5 > 0 - принадлежит О.Д.З.
lgx = 3 $begin mathsize 12px style rightwards double arrow end style$ x₂ = 10³ > 0- принадлежит О.Д.З.

Ответ: {10^-5; 10³}

Вопросы к конспектам

Решите систему уравнений:

begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell 3 x plus 2 y equals 4 end cell row cell log subscript 0 comma 5 end subscript open parentheses 3 e plus 8 x plus 1 close parentheses equals negative 5 end cell end table close end style

Найдите сумму квадратов корней уравнения: (1000x)^lgx = x⁴

Решите уравнение:

begin mathsize 12px style l o g subscript 2 superscript 2 x minus l o g subscript 0 comma 5 end subscript 1 over x cubed equals 4 end style

Решите уравнение: 3log₈(x - 2) = log₂

begin mathsize 12px style square root of open parentheses 2 x minus 1 close parentheses end root end style

Решите уравнение: log₄(2x² - x + 1) = log₂(2x)

Решите систему уравнений:

begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell 2 x space minus space 3 y space equals space 2 end cell row cell l o g subscript 2 open parentheses 2 x plus y plus 6 close parentheses equals 4 end cell end table close end style

Сколько корней имеет уравнение ln(x² + 3x) = lnx

Решите уравнение: log₃27x - log₃5 + x^4log_x2 = 19

Решите систему уравнений:

begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell 6 x minus 7 y equals 3 end cell row cell l o g subscript 6 open parentheses 4 x plus 5 y plus 5 close parentheses equals 2 end cell end table close end style

Найдите корни уравнения: log_0,2(12x + 8) = log_0,2(10x + 12)

Найдите сумму корней уравнения:

begin mathsize 12px style l o g subscript 2 superscript 2 x end style

- 2log₂x² + 3 = 0

Решите уравнение:

begin mathsize 12px style square root of l o g subscript x square root of 3 x end root end root equals negative l o g subscript x 3 end style

Решите уравнение:

begin mathsize 12px style fraction numerator l o g subscript 2 open parentheses x squared plus 3 x minus 6 close parentheses over denominator 3 l o g subscript 2 open parentheses x minus 3 close parentheses end fraction end style

= 1

Решите уравнение:

begin mathsize 12px style square root of 2 x minus 12 end root end style

*log₅(x - 3) = 0

Решите уравнение:

begin mathsize 12px style l n square root of 5 x minus x squared end root minus 1 half l n open parentheses 5 minus x close parentheses equals 0 end style

Найдите корни уравнения: log₃(5 - 4x) = 4

Решите уравнение: log₅

begin mathsize 12px style square root of x plus 1 end root end style

+ log₅

begin mathsize 12px style square root of x plus 2 end root end style

= log₅1

Решите систему уравнений:

begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell l o g subscript 3 x plus l o g subscript 3 y equals 1 plus l o g subscript 3 12 end cell row cell 3 to the power of fraction numerator x plus y over denominator 3 end fraction end exponent equals 243 end cell end table close end style

Найдите x + y

Решите уравнение: 3log₈(x - 2) = log_{2 $begin mathsize 12px style square root of open parentheses 2 x minus 1 close parentheses end root end style$}

Решите уравнение:

begin mathsize 12px style 5 to the power of x squared end exponent end style

= 2^2log₄5

Решите уравнение:

begin mathsize 12px style fraction numerator l o g subscript 5 left parenthesis х squared plus З х minus 5 right parenthesis over denominator 2 l o g subscript 5 left parenthesis x minus 1 right parenthesis end fraction equals 1 end style

Последнее изменение: Среда, 1 Февраль 2017, 19:14