Исследование функции

Чтобы исследовать функцию, можно использовать следующую схему:

1. Область определения функции D(у) - это множество всех допустимых значений аргумента x (независимой переменной x), при которых выражение, стоящее в правой части уравнения функции  y = f(x)  имеет смысл. Другими словами, это область допустимых значений выражения f(x).

Чтобы по графику функции y = f(x) найти ее область определения, нужно, двигаясь слева направо вдоль оси ОХ, записать все промежутки значений х, на которых существует график функции.

2. Множество значений фнкции Е(у) - это множество всех значений, которые может принимать  зависимая переменная y.

Чтобы по графику функции y = f(x) найти ее множество значений, нужно, двигаясь снизу вверх вдоль оси OY, записать все промежутки значений y, на которых существует график функции.

3. Нули функции – это те значения аргумента х, при которых значение функции (у) равно нулю.

Чтобы найти нули функции , y = f(x)  нужно решить уравнение  f(x) = 0. Корни этого уравнения и будут нулями функции y = f(x).

Чтобы найти нули функции, y = f(x) по ее графику, нужно найти точки пересечения графика с осью ОХ. Абсциссы точек пересечения и будут нулями функции y = f(x).

4. Промежутки знакопостоянства функции y = f(x) – это такие промежутки значений аргумента, на которых функция сохраняет свой знак, то есть f(x) > 0 или  f(x) < 0.

Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции y = f(x), нужно решить неравенства f(x) > 0 или f(x) < 0.

Чтобы найти  промежутки знакопостоянства функции y = f(x) по ее графику, нужно

• найти промежутки значений аргумента х, при которых график функции расположен выше оси ОХ – при этих значениях аргумента f(x) > 0.
• найти промежутки значений аргумента х, при которых график функции расположен ниже оси ОХ – при этих значениях аргумента f(x) < 0.

5. Промежутки монотонности функции y = f(x) – это такие промежутки значений аргумента х, при которых функция y = f(x) возрастает или убывает.

Говорят, что функция y=f(x) возрастает на промежутке I, если для любых двух значений аргумента x₁, x₂, принадлежащих промежутку I таких, что x₁ < x₂  выполняется соотношение: f(x₁) < f(x₂).

Другими словами, функция y = f(x) возрастает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Чтобы по графику функции y = f(x) определить промежутки возрастания функции, нужно, двигаясь  слева направо по линии графика функции, выделить промежутки значений аргумента х, на которых график идет вверх.

Говорят, что функция y = f(x) убывает на промежутке I, если для любых двух значений аргумента x₁, x₂, принадлежащих промежутку I таких, что x₁ < x₂  выполняется соотношение: f(x₁) > f(x₂)

Другими словами, функция y = f(x) убывает на промежутке I, если большему значению аргумета из этого промежутка соответствует меньшее значение функции. 

Чтобы по графику функции y = f(x) определить промежутки убывания функции, нужно, двигаясь  слева направо вдоль линии графика функции, выделить промежутки значений аргумента х, на которых график идет вниз.

6. Точка x₀ называется точкой максимума функции y = f(x) , если существует такая окрестность I точки x₀, что для любой точки х из этой окрестности выполняется соотношение:

f(x₀) > f(x)  

Графически это означает что точка с абсциссой  x₀ лежит выше других точек из окрестностиI графика функции y = f(x).

Точка x₀ называется точкой минимума  функции y = f(x) , если существует такая окрестность I точки x₀, что для любой точки х из этой окрестности выполняется соотношение:

f(x₀) < f(x)

Графически это означает что точка с абсциссой  x₀ лежит ниже других точек  из окрестности I графика функции y = f(x).

Обычно мы находим точки максимума и минимума функции, проводя исследование функции с помощью производной.

7. Функция y = f(x) называется четной, если выполняются два условия:

• а) Для любого значения аргумента x, принадлежащего области определения функции, -x также принадлежит области определения функции.

Другими словами, область определения  четной функции y = f(x) симметрична относительно начала координат.

• б)  Для любого значения аргумента х, принадлежащего области определения функции, выполняется соотношение f(-x) = f(x).

Функция y = f(x) называется нечетной, если выполняются два условия:

• а) Для любого значения аргумента x, принадлежащего области определения функции, -x также принадлежит области определения функции.

Другими словами, область определения нечетной функции y = f(-x) симметрична относительно начала координат.

• б)  Для любого значения аргумента х, принадлежащего области определения функции, выполняется соотношение f(-x) = - f(x).

Все функции делятся на четные, нечетные, и те, которые не являются четными и не являются нечетными. Они называются функциями общего вида.

Чтобы определить четность функции, нужно:

• а) Найти область определения функции y = f(x), и определить, является ли она симметричным множеством.

Если, например,  число х = 2 входит в область определения функции, а число х = -2 не входит, то D(y) не является симметричным множеством, и функция y = f(x) –  функция общего вида.

Если область определения  функции y = f(x) – симметричное множество, то проверяем п. б)

• б) В уравнение функции y=f(x) нужно вместо х подставить -х, упростить полученное выражение, и постараться привести его к виду f(x) или –f(x).

Если f(-x) = f(x), то функция четная.

Если f(-x) = - f(x), то функция нечетная.

Если не удалось привести ни к тому ни к другому, то наша функция y=f(x) – общего вида.

График четной функции симметричен относительно оси ординат (прямой OY).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки (0, 0)).

8. Функция y = f(x)  называется периодической, если существует такое положительное число Т, что

• для любого значения х из области определения функции, х+Т также принадлежит D(x)
• f(x) = f(x+T)

В программе средней школы из числа периодических функций изучают только тригонометрические функции.

Вопросы к конспектам

Найдите а) критические точки б) точки экстремума и в) экстермумы функции 

Найдите а) критические точки б) точки экстремума и в) экстермумы функции 

Найдите а) критические точки б) точки экстремума и в) экстермумы функции 

Найдите а) критические точки б) точки экстремума и в) экстермумы функции