Площадь круга и его частей

Рассмотрим две окружности с общим центром (концентрические окружности) и радиусами r и R, в каждую из которых вписан правильный n – угольник .

Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус r =1.

Площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R, равна

 Площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна

Следовательно, 

Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1, стремится к pi , то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R, стремится к числу πR².

Таким образом, площадь круга радиуса R, обозначаемая S, равна

S = πR².

Площадь сектора

Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке и обозначим его площадь символомS(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке и обозначим его площадь символомS(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON, то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

Следовательно,

В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

Следовательно,

Вопросы к конспектам