Длина окружности, число π

Рассмотрим правильный n – угольник B₁B₂…B_n, вписанный в окружность радиуса R, и опустим из центра O окружности перпендикуляры на все стороны многоугольника.

Многоугоьник вписанный в окружность

Поскольку площадь n – угольника B₁B₂…B_n равна

$size 12px S subscript size 12px B subscript size 12px 1 size 12px B subscript size 12px 2 size 12px space size 12px horizontal ellipsis size 12px space size 12px B subscript size 12px n end subscript$ $size 12px equals size 12px n size 12px asterisk times size 12px S subscript size 12px increment size 12px B subscript size 12px 1 size 12px O size 12px B subscript size 12px 2 end subscript$ $size 12px equals size 12px n size 12px 1 over size 12px 2 size 12px B subscript size 12px 1 size 12px B subscript size 12px 2 size 12px asterisk times size 12px O size 12px H subscript size 12px 1$ $equals size 12px 1 over size 12px 2 open parentheses size 12px B subscript size 12px 1 size 12px B subscript size 12px 2 size 12px plus size 12px B subscript size 12px 2 size 12px B subscript size 12px 3 size 12px plus size 12px B subscript size 12px 3 size 12px B subscript size 12px 4 size 12px plus size 12px midline horizontal ellipsis size 12px plus size 12px B subscript size 12px n size 12px B subscript size 12px 1 close parentheses size 12px asterisk times size 12px O size 12px H subscript size 12px 1$

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C, при увеличении n получаем равенство:

$size 12px pi size 12px R to the power of size 12px 2 size 12px equals size 12px 1 over size 12px 2 size 12px asterisk times size 12px C size 12px R$

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R:

$Error converting from MathML to accessible text.$

Следствие: Длина окружности радиуса 1 равна 2π.

Длина дуги окружности

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке и обозначим её длину символом l.

Длина дуги окружности

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

$Error converting from MathML to accessible text.$

из которой вытекает равенство:

$Error converting from MathML to accessible text.$

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

$Error converting from MathML to accessible text.$

из которой вытекает равенство:

$Error converting from MathML to accessible text.$

Последнее изменение: Понедельник, 30 Январь 2017, 00:00