Нелинейные уравнения с двумя переменными и их система

Нелинейные уравнения с двумя переменными решаются также как и линейные уравнения с двумя переменными, с помощью графика. При этом желательно переменную у выразить через х и построить график полученной функции. Все соответствующие координаты точек графика будут являтся парами ответов данного уравнения.

При решении систем уравнений применяются различные методы:

разложение на множители;
исключение переменных;
алгебраическое сложение;
замена переменных;
системы однородных уравнений;
метод введения новых переменных;
графический метод.

Рассмотрим некоторые методы решения нелинейных систем уравнений.

1. Метод разложения на множители

Пример 1. Решить систему

$begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x squared minus 2 y squared minus x y plus 2 x minus y plus 1 equals 0 end cell row cell 2 x squared minus y squared plus x y plus 3 y minus 5 equals 0 end cell end table close end style$

Решение. Так как х² - 2у² - ху = (х + у)(х-2у), то

$begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell open parentheses x plus y close parentheses open parentheses x minus 2 y close parentheses plus open parentheses x plus y close parentheses plus open parentheses x minus 2 y close parentheses plus 1 equals 0 end cell row cell open parentheses 2 x minus y close parentheses open parentheses x plus y close parentheses plus open parentheses 2 x minus y close parentheses plus open parentheses x plus y close parentheses plus 1 equals 6 end cell end table close end style$ или $begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell open parentheses x plus y plus 1 close parentheses open parentheses x minus 2 y plus 1 close parentheses equals 0 end cell row cell open parentheses 2 x minus y plus 1 close parentheses open parentheses x plus y plus 1 close parentheses equals 6 end cell end table close end style$

Заметим, что множитель, x + y + 1 ≠ 0 так как в этом случае правая часть второго уравнения системы также обратилась бы в нуль. Следовательно, система равносильна системе

$begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x minus 2 y plus 1 equals 0 end cell row cell open parentheses 2 x minus y plus 1 close parentheses open parentheses x plus y plus 1 close parentheses equals 6 end cell end table close end style$ $left right double arrow$ $begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x equals 2 y minus 1 end cell row cell open parentheses 2 x minus y plus 1 close parentheses open parentheses x plus y plus 1 close parentheses equals 6 end cell end table close end style$

Решим второе уравнение, подставив вместо значения х выражение 2у - 1

(2(2у-1)-у +1)(2у-1+у+1) =6

( 4у - 2 -у + 1)× 3у = 6

(3у-1)× 3у = 6

9у²-3у -2 = 0

у₁= 1; у₂ = - 2/3

Выразив x из первого уравнения и подставив во второе, получили уравнения для нахождения у. В первое уравнение системы вместо у подставляем найденное значение и находим значения x:

х₁ = 1; х₂ = - 7/3

Ответ: (1; 1); (- 7/3; - 2/3 )

2. Метод исключения одной из неизвестных

Метод исключения неизвестных позволяет последовательно сводить решение данной системы к решению системы (или совокупности систем), содержащей на одну переменную меньше.

Пример 2. Решить систему

$begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell 3 x squared y squared plus x squared minus 3 x y equals 7 end cell row cell 10 x squared y squared plus 3 x squared minus 20 x y equals 3 end cell end table close end style$

Решение. Левые части уравнений системы содержат одни и те же комбинации неизвестных. Умножим уравнения на подходящие множители с тем, чтобы исключить из системы одно из неизвестных. Из системы исключим х². Для этого умножим первое уравнение на -3 и сложим со вторым уравнением .

В результате получаем уравнение.

(ху)² -11ху +18 =0

Решим данное уравнение путем замены.

Пусть xy = t, тогда , t² - 11t + 18= 0, откуда t₁ = 2; t₂ = 9

Таким образом, исходная система распадается на системы:

$begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell 3 x squared y squared plus x squared minus 3 x y equals 7 end cell row cell x y equals 2 end cell end table close end style$ и $begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell 3 x squared y squared plus x squared minus 3 x y equals 7 end cell row cell x y equals 9 end cell end table close end style$

В первом случае находим x²=1. Если x=1 то y=2 , а если x=-1, то y=-2.

Во втором случае получаем x²= -209, т.е. не имеет действительных решений.

Ответ: {(1;2),(-1;-2)}.

3. Метод алгебраических преобразований уравнений системы

Уравнения системы можно складывать, вычитать, умножать на число, перемножать, делить, соблюдая при этом возможность выполнения таких операций. Заметим, что следствие системы, получаемое в результате алгебраических преобразований, содержит все решения исходной системы, и, кроме того, оно может содержать лишние корни.

Поэтому: 1) если следствие не имеет решений, то и исходная система не имеет решений; 2) если решениями следствия окажутся действительными числа, то их нужно подставить в исходную систему и проверить, являются ли они ее корнями; 3) если решениями следствиями окажутся алгебраические выражения, то их нужно рассматривать совместно с уравнениями исходной системы. В этом случае получим равносильную систему или совокупность систем.

Пример 3. Решить систему

$begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell open parentheses x plus 2 y close parentheses open parentheses 2 x minus y plus 1 close parentheses equals 6 end cell row cell fraction numerator 2 x minus y plus 1 over denominator x plus 2 y end fraction equals 2 over 3 end cell end table close end style$

Решение: ОДЗ: x + 2y ≠ 0 $begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell open parentheses x plus 2 y close parentheses open parentheses 2 x minus y plus 1 close parentheses equals 6 end cell row cell open parentheses 2 x minus y plus 1 close parentheses equals 2 over 3 open parentheses x plus 2 y close parentheses end cell end table close end style$

$begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell 2 over 3 open parentheses x plus 2 y close parentheses squared equals 6 end cell row cell open parentheses 2 x minus y plus 1 close parentheses equals 2 over 3 open parentheses x plus 2 y close parentheses end cell end table close end style$ $begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x plus 2 y equals 3 end cell row cell 2 x minus y plus 1 equals 2 over 3 open parentheses x plus 2 y close parentheses end cell end table close end cell row cell open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x plus 2 y equals 3 end cell row cell 2 x minus y plus 1 equals 2 over 3 open parentheses x plus 2 y close parentheses end cell end table close end cell end table close end style$

Ответ: {(1; 1), (-1,8; -0,6)}

4. Метод замены переменных

Пример 4. Решить систему

$begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x squared plus y squared plus 5 x plus 3 x y equals 15 end cell row cell x squared plus y squared minus x plus x y equals 1 end cell end table close end style$

Решение:

$begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell open parentheses x plus y close parentheses squared plus x y plus 5 open parentheses x plus y close parentheses equals 15 end cell row cell open parentheses x plus y close parentheses squared minus x y minus open parentheses x plus y close parentheses equals 1 end cell end table close end style$

Произведем замену. Пусть $begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x plus y equals u end cell row cell x y equals v end cell end table close end style$ тогда $begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell u squared plus v plus 5 u equals 15 end cell row cell u squared minus v plus 5 u equals 1 end cell end table close end style$

Складывая уравнения, получим 2u² + 4u - 16 = 0, где u₁ = -4, u₂ = 2

Преобразуем первое уравнение:

$begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell u subscript 1 equals negative 4 end cell row cell 16 plus v minus 20 equals 15 end cell end table close end cell row cell open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell u subscript 2 equals 2 end cell row cell 4 plus v plus 10 equals 15 end cell end table close end cell end table close end style$ $begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell u subscript 1 equals negative 4 end cell row cell v subscript 1 equals 19 end cell end table close end cell row cell open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell u subscript 2 equals 2 end cell row cell v subscript 2 equals 1 end cell end table close end cell end table close end style$ $begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x plus y equals negative 4 end cell row cell x y equals 19 end cell end table close end cell row cell open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x plus y equals 2 end cell row cell x y equals 1 end cell end table close end cell end table close end style$ $begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell y equals negative 4 minus x end cell row cell plus 4 x minus x squared minus 19 equals 0 end cell end table close end cell row cell open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell y equals 2 minus x end cell row cell 2 x plus x squared minus 1 equals 0 end cell end table close end cell end table close end style$ $begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell y equals negative 4 minus x end cell row cell plus 4 x minus x squared minus 19 equals 0 end cell end table close end cell row cell open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell y equals 2 minus x end cell row cell 2 x plus x squared minus 1 equals 0 end cell end table close end cell end table close end style$ $begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell y equals 4 minus x end cell row cell x squared plus 4 x plus 19 equals 0 end cell end table close end cell row cell open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell y equals 2 minus x end cell row cell x squared minus 2 x plus 1 equals 0 end cell end table close end cell end table close end style$ $begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell space space space empty set end cell row cell open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell y equals 1 end cell row cell x equals 1 end cell end table close end cell end table close end style$

Ответ: {(1;1)}

Вопросы к конспектам

Найдите значение выражения x1 * y1 + x2 * y2, где (xn; yn) - решение системы:

begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell 3 x minus y equals negative 2 end cell row cell x squared minus y equals 8 end cell end table close end style

Решить систему уравнений:

begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x squared plus y minus 20 equals 0 end cell row cell x plus y squared minus 20 equals 0 end cell end table close end style

Укажите промежуток, которому принадлежат числа, являющиеся решением системы:

begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell x minus y equals 2 end cell row cell x squared minus y squared equals 36 end cell end table close end style

Последнее изменение: Среда, 27 Сентябрь 2017, 00:10