Тождественное преобразование многочленов

Разложение многочлена на множители

Вынесение общего множителя за скобки.  Из каждого слагаемого, входящего в многочлен, выносится некоторый одночлен, входящий в качестве множителя во все слагаемые. Таким общим множителем может быть не только одночлен, но и многочлен.

Алгоритм нахождения общего множителя нескольких одночленов

• Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, - он и будет общим числовым множителем (разумеется, это относится только к случаю целочисленных коэффициентов).
• Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени.
• Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, является общим множителем, который целесообразно вынести за скобки.

Пример

Разложить на множители: -x⁴y³ - 2x³y² + 5x².

Воспользуемся сформулированным алгоритмом.

Наибольший общий делитель коэффициентов

 –1, -2 и 5 равен 1.

Переменная x входит во все члены многочлена с показателями соответственно 4, 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки x².

Переменная y входит не во все члены многочлена; значит, ее нельзя вынести за скобки.

Вывод: за скобки можно вынести x². Правда, в данном случае целесообразнее вынести -x². Получим:

-x⁴y³-2x³y²+5x²=-x²(x²y³+2xy²-5).

Способ группировки

Бывает, что члены многочлена не имеют общего множителя, но после заключения нескольких членов в скобки ( на основе переместительного и сочетательного законов сложения)удается выделить общий множитель, являющийся многочленом.

Алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки:

1. Сгруппировать его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель
2. Вынести в каждой группе общий множитель в виде одночлена за скобки
3. Вынести в каждой группе общий множитель в виде многочлена за скобки.

Рассмотрим пример: 

Разложить на множители:  xy-6+3x-2y

Решение:

ху – 6 + 3у – 2у = (ху – 2у) + (-6 + 3х) = у (х – 2) +3(х-2) = (х-2)(у+3)

Переместительное  свойство:  численная величина многочлена  не изменяется при  перемещении его  членов  (с  их знаками).

Сочетательное свойство: численная величина многочлена не изменится, если какие-либо его члены мы заменим их алгебраической суммой.

• Если перед каждым членом многочлена переменим знак на , противоположный, то численная величина многочлена  изменит также знак на противоположный, а абсолютная величина ее не изменится.
• Чтобы сложить несколько одночленов, достаточно написать их один за другим с их знаками и сделать приведение подобных членов.
• Чтобы к какому-нибудь алгебраическому выражению прибавить многочлен, надо приписать к этому выражению все члены многочлена один за другим с их знаками
• Чтобы вычесть одночлен, достаточно приписать его к уменьшаемому с противоположным знаком (и сделать приведение подобных членов, если они окажутся).
• Чтобы из какого-нибудь алгебраического выражения вычесть многочлен, достаточно к этому выражению приписать все члены вычитаемого многочлена с противоположными знаками (и сделать приведение).
• Раскрывая скобки, перед которыми стоит знак +, мы не должны изменять знаки внутри скобок, а раскрывая скобки, перед которыми стоит знак —, мы должны перед всеми членами, стоящими внутри скобок, переменить знаки на противоположные.
• Чтобы умножить одночлен на одночлен, надо перемножить  их коэффициенты, сложить показатели одинаковых букв, а те  буквы,  которые  входят только  во множимое или только во множитель, перенести в произведение с их показателями.
• Чтобы умножить многочлен на одночлен, надо умножить на этот одночлен каждый член многочлена и полученные произведения сложить
• Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить.

Вопросы к конспектам

Вычислите: 

Сократите дробь: 

Упростите выражение: 

Упростить: