Арифметические действия над одночленами и многочленами

Сложим многочлены 5y2 + 2y - 3 и 7y2 - 3y + 7.

Для этого составим их сумму, затем раскроем скобки и приведем подобные члены:

( 5y2 + 2y - 3 ) + ( 7y2 - 3y + 7 ) = 5y2 + 2y - 3 + 7y2 - 3y + 7  = 12y2 - y + 4

Сумму многочленов 5y2 + 2y - 3 и 7y2 - 3y + 7 мы представили в виде многочлена 12y2 - y + 4. Вообще сумму любых многочленов можно представить и виде многочлена.

Вычтем из многочлена 8y2 + 5y + 3 многочлен 5y2 - 3y + 7.

Для этого составим их разность, затем раскроем скобки и приведем подобные члены:

( 8y2 + 5y + 3 ) - ( 5y2 - 3y + 7 ) = 8y2 + 5y + 3 -  5y2 + 3y - 7  =  3y2 + 8y - 4

Разность многочленов 8y2 + 5y + 3 и 5y2 - 3y + 7 мы представили в виде многочлена  3y2 + 8y - 4. Вообще разность любых многочленов можно представить и виде многочлена.

При сложении и вычитании многочленов снова получается многочлен.

Иногда требуется решить обратную задачу - представить многочлен в виде суммы или разности многочленов. При этом пользуются правилом:

  • если перед скобками ставится знак «плюс », то члены, которые заключают в скобки, записывают с теми же знаками;
  • если перед скобками ставится знак «минус », то члены, которые заключают в скобки, записывают с противоположными знаками.

Например

4x + 3y - 2 = 4x + ( 3y - 2 )

4x + 3y - 2 = 4x - ( -3y + 2 )

При умножении одночленов и возведении одночленов в степень используется правило умножения степеней с одинаковым основанием и правило возведения степени в степень. При этом получается одночлен, который обычно представляют в стандартном виде.

Например :

1) 4x3y2(-3)x2y = 4(-3)x3x2y2y = -12x5y3

2) ((-5)x3y2)3 = (-5)3x3×3y2×3 = -125x9y6

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Например:  

1) (a+b)(c+d) = ac + bc + ad + bd.

2) (х3 +2у2)(3х2-у) = х3×3х2+2у2×3х2 + х3× (-у) + 2у2× (-у) = 3х5 + 6х2у2 - х3у – 2у3

При делении многочлена на одночлен, нужно мысленно представить себе многочлен в виде алгебраической суммы его членов, т.е. относить знаки, стоящие перед членами, к самим этим членам. При таком представлении отдельных членов, нужно каждый член многочлена последовательно делить на делитель, соблюдая общее правило деления одночленов. Наконец получаемые произведения нужно складывать, т.е. вписывать их рядом с их знаками. В случае невозможности деления одного или нескольких членов, нужно обозначить  соответствующие частные дробями.

Например:

Разделить многочлен 8а3 + 6a2b - b на 2а2

Решение. Имеем:

8а3 + 6a2b - b = 2а2 * 4а + 2а2 * 3b - b

begin mathsize 12px style fraction numerator 2 a squared asterisk times 4 a plus 2 a squared asterisk times 3 b minus b over denominator 2 a squared end fraction equals fraction numerator 2 a squared asterisk times 4 a over denominator 2 a squared end fraction plus fraction numerator 2 a squared asterisk times 3 b over denominator 2 a squared end fraction minus fraction numerator b over denominator 2 a squared end fraction equals 4 a plus 3 b minus fraction numerator b over denominator 2 a squared end fraction end style

Вопросы к конспектам

Выполните вычитание: begin mathsize 12px style open parentheses 3 over 4 x squared minus 1 comma 4 х у minus 2 comma 5 у plus 4 close parentheses minus open parentheses 2 у squared minus 7 over 5 х у plus 0 comma 75 х squared close parentheses end style
Выполните действие: 4a2b2 * (2a3 - 3a2 + 3a - 1)
Вычислите значение выражения begin mathsize 12px style 5 х squared у minus х у squared minus 4 х squared у plus х у squared minus х у plus 7 end style, при х= –1, y = 2
Найдите значение А, удовлетворяющее тождеству: begin mathsize 12px style А plus open parentheses 6 х squared minus 3 х у close parentheses equals 8 х squared plus 7 х у minus у squared end style
Решите уравнение относительно к х: begin mathsize 12px style х squared minus open parentheses х plus m close parentheses minus open parentheses x squared minus 2 x minus 3 m close parentheses equals 0 end style
Решите уравнение: begin mathsize 12px style fraction numerator x open parentheses x plus 6 close parentheses over denominator 2 end fraction minus fraction numerator x open parentheses x plus 14 close parentheses over denominator 3 end fraction minus fraction numerator x squared plus 1 over denominator 6 end fraction equals 0 end style
Упростите выражение: 4y - 2(y - 3) - 3(y - 3(4 - 2y)+8)
Упростите выражение: begin mathsize 12px style negative 2 b open parentheses а cubed minus 2 b squared close parentheses minus b open parentheses a cubed plus 4 b squared close parentheses end style
Упростите: begin mathsize 12px style fraction numerator open parentheses x squared y cubed z squared close parentheses to the power of 4 asterisk times open parentheses x cubed y close parentheses cubed over denominator open parentheses x y squared z to the power of 4 close parentheses squared end fraction end style
Выполните действие: begin mathsize 12px style open parentheses x squared minus 1 close parentheses open parentheses x squared plus x plus 1 close parentheses open parentheses x squared minus x plus 1 close parentheses end style
Даны многочлены begin mathsize 12px style P subscript 1 open parentheses x close parentheses equals 6 x squared minus 4 end style и begin mathsize 12px style P subscript 2 open parentheses x close parentheses equals 5 x squared minus 10 end style. Вычислите begin mathsize 12px style P subscript 1 open parentheses x close parentheses minus P subscript 2 open parentheses x close parentheses end style.
Найдите значение выражения 12(2 - 3m) + 35m - 9(m + 1) при m = 2. 
Последнее изменение: Воскресенье, 12 Март 2017, 01:09