Одночлен и многочлен. Степень одночлена и многочлена. Стандартный вид одночлена и многочлена

Выражения 5a²x, 2a³(-3)x², b²x являются произведениями чисел, переменных и их степеней. Такие выражения называются одночленами. Одночленами также считают числа, переменные и их степени.

Например, выражения - 8, 35,y и y² - одночлены.

Стандартным видом одночлена называется одночлен в виде произведения числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных. Любой одночлен можно привести к стандартному виду путем перемножения всех переменных и чисел, входящих в него. Приведем пример приведения одночлена к стандартному виду:

4x²y⁴(-5)yx³ = 4(-5)x²x³y⁴y = -20x⁵y⁵

Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. Например коэффициент одночлена -12сx⁶y⁵ равен -12. Коэффициенты одночленов x³ и -xy считают равными 1 и -1, так как x⁷ = 1x⁷ и -xy = -1xy

Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных. Если одночлен не содержит переменных, то есть является числом, то его степень считают равной нулю.

Например степень одночлена 8x³yz² равна 6, одночлена 6x равна 1, степень одночлена -10 равна 0.

Многочленом называется сумма одночленов.

Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена. Так членами многочлена 4x²y - 5xy + 3x -1  являются 4x²y, -5xy, 3x и -1 .

Если многочлен состоит из двух членов, то его называют двучленом, если из трех - трехчленом . Одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена.

В многочлене 7x³y² - 12 + 4x²y - 2y²x³ + 6  члены 7x³y² и - 2y²x³ являются подобными слагаемыми, так как имеют одну и ту же буквенную часть. Подобными являются и слагаемые -12 и 6, не имеющие буквенной части. Подобные слагаемые в многочлене называют подобными членами многочлена, а приведение подобных слагаемых в многочлене - приведением подобных членов многочлена.

Приведем для примера подобные члены в многочлене 7x³y² - 12 + 4x²y - 2y²x³ + 6  = 5x³y² + 4x²y -6.

Многочлен называется многочленом стандартного вида, если каждый его член является одночленом стандартного вида и этот многочлен не содержит подобных слагаемых.

Любой многочлен можно привести к стандартному виду. Для этого нужно каждый его член представить в стандартном виде и привести подобные слагаемые.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.

Для примера найдем степень многочлена 8x⁴y² - 12 + 4x²y - 3y²x⁴ + 6 - 5y²x⁴ :

8x⁴y² - 12 + 4x²y - 3y²x⁴ + 6 - 5y²x⁴ = 4x²y -6.

Заметим, что в исходный многочлен входят одночлены шестой степени, но при приведении подобных членов все они сократились, и получился многочлен третьей степени, значит и исходный многочлен имеет степень 3!

Вопросы к конспектам

Определите степень одночлена: