Решение линейных неравентсв, содержащих переменную под знаком модуля

Для решения неравенств со знаком модуля необходимо использовать следующую схему решения.

  1. Определить нулевые точки, приравняв нулю выражения, находящиеся под знаком модуля.
  2. Разделить числовую ось на интервалы полученными нулевыми точками и решить уравнение или неравенство для каждого интервала, убирая знак модуля в соответствии с правилом (п.III).
  3. Полученное решение должно принадлежать рассматриваемому интервалу, если решается уравнение. При решении неравенства находится общий промежуток для полученного решения и интервала.

Пример: |х-1|+ х < 5-|2х-5|.

Нулевыми точками являются значения х = 1 и х = begin mathsize 12px style 5 over 2 end style. Рассматриваем решение для интервалов begin mathsize 12px style open parentheses negative infinity semicolon space 1 close parentheses semicolon space space left square bracket 1 semicolon space 5 over 2 right parenthesis semicolon space space left square bracket 5 over 2 semicolon space infinity right parenthesis end style.

В интервале begin mathsize 12px style left parenthesis negative infinity semicolon space 1 right parenthesis colon space space space open vertical bar х minus 1 close vertical bar equals negative left parenthesis left parenthesis х minus 1 right parenthesis semicolon space space space open vertical bar 2 х minus 5 close vertical bar equals negative left parenthesis 2 х minus 5 right parenthesis end style. Решаем неравенство begin mathsize 12px style negative х plus 1 plus х less than 5 plus 2 х minus 5 rightwards double arrow space space х greater than 1 half end style. Общим решением begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell х element of open parentheses 0 comma 5 semicolon infinity close parentheses end cell row cell х element of open parentheses negative infinity comma space 1 close parentheses end cell end table close end style находим begin mathsize 12px style х element of open parentheses 0 comma 5 semicolon space 1 close parentheses end style. 

В интервале begin mathsize 12px style left square bracket 1 semicolon space 5 over 2 right parenthesis colon space space space open vertical bar x minus 1 close vertical bar equals х minus 1 semicolon space space open vertical bar 2 х minus 5 close vertical bar equals negative open parentheses 2 х minus 5 close parentheses end style. Решаем неравенство begin mathsize 12px style х minus 1 plus х less than 5 plus 2 х minus 5 rightwards double arrow space space minus 1 less than 0 end style, что означает begin mathsize 12px style х element of R end style. Тогда решением системы begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell х element of R end cell row cell х element of left square bracket 1 semicolon space 5 over 2 right parenthesis end cell end table close end style является begin mathsize 12px style х element of left square bracket 1 semicolon space 5 over 2 right parenthesis end style.

В интервале begin mathsize 12px style left square bracket 5 over 2 semicolon space infinity right parenthesis colon space space space open vertical bar х minus 1 close vertical bar equals х minus 1 semicolon space space open vertical bar 2 х minus 5 close vertical bar equals 2 х minus 5 end style. Решаем неравенство begin mathsize 12px style х minus 1 plus х less than 5 minus 2 х plus 5 end style и получаем решение begin mathsize 12px style х less than 11 over 4 end style. Для системы begin mathsize 12px style open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell х element of left parenthesis negative infinity semicolon space 11 over 4 right parenthesis end cell row cell х element of left square bracket 5 over 2 semicolon space infinity right parenthesis end cell end table close end style решением является х element of left square bracket 5 over 2 semicolon space 9 over 4 right parenthesis.

Собирая вместе полученные решения, которые имеют общие точки х=1 и begin mathsize 12px style х equals 5 over 2 end style, объединяем полученные промежутки в один begin mathsize 12px style х element of left parenthesis 0 comma 5 semicolon space 2 comma 75 right parenthesis end style.

Вопросы к конспектам 

В каком интервале находится значение х:  begin mathsize 12px style open vertical bar х plus 1 close vertical bar less or equal than 4 end style
Решите неравенство: |х| < 5.
Последнее изменение: Понедельник, 20 Февраль 2017, 00:59