Решение задач по теме «Механическая работа и мощность» 

Задача №1

К брус­ку при­кре­пи­ли ди­на­мо­метр и пе­ре­ме­сти­ли бру­сок на рас­сто­я­ние 30 см. По­ка­за­ния ди­на­мо­мет­ра равны 0,8 Н. Найти ра­бо­ту силы тяги по пе­ре­ме­ще­нию брус­ка (рис. 1).

Рис 1. К за­да­че №1

Пре­жде всего за­пи­шем крат­кое усло­вие за­да­чи и по­за­бо­тим­ся, чтобы все дан­ные были вы­ра­же­ны в си­сте­ме СИ (рис. 2).

Рис 2. Крат­кое усло­вие за­да­чи №1

Для вы­чис­ле­ния ра­бо­ты вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой

Пол­ное ре­ше­ние за­да­чи вы­гля­дит так (рис. 3).

Рис 3. Пол­ное ре­ше­ние за­да­чи №1

Задача №2

Трак­тор пе­ре­ме­ща­ет плат­фор­му со ско­ро­стью 7,2 км/ч, раз­ви­вая тя­го­вое уси­лие в 25 кН. Какую ра­бо­ту со­вер­шит трак­тор за 10 мин (рис. 4)?

Рис 4. К за­да­че №2

За­пи­шем крат­кое усло­вие за­да­чи и пе­ре­ве­дем все еди­ни­цы из­ме­ре­ния в си­сте­му СИ (рис. 5).

Рис 5. Крат­кое усло­вие за­да­чи №2

Для вы­чис­ле­ния ра­бо­ты необ­хо­ди­мо знать рас­сто­я­ние, прой­ден­ное телом. В усло­вии за­да­чи дана ско­рость дви­же­ния трак­то­ра и время дви­же­ния, по­это­му вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой

ко­то­рую под­ста­вим в вы­ра­же­ние для ра­бо­ты  и по­лу­чим ра­бо­чую фор­му­лу

Под­ста­нов­ка дан­ных из усло­вия за­да­чи дает

Рис 6. Пол­ное ре­ше­ние за­да­чи №2

Задача №3

Най­дем ра­бо­ту силы тя­же­сти при па­де­нии гру­зи­ка.

Для ре­ше­ния за­да­чи нам по­тре­бу­ет­ся ли­ней­ка и сам гру­зик. Из­ме­рим вы­со­ту, с ко­то­рой будет па­дать гру­зик. По­лу­ча­ем 1 м. Масса гру­зи­ка на­пи­са­на на нем самом и равна 100 г. Под­ни­мем гру­зик на ука­зан­ную вы­со­ту и от­пу­стим его.

Крат­кое усло­вие за­да­чи будет вы­гля­деть так (рис. 7):

Рис 7. Крат­кое усло­вие за­да­чи №3

Для на­хож­де­ния ра­бо­ты вы­ра­зим силу тя­же­сти через массу тела , и учтем, что рас­сто­я­ние, прой­ден­ное телом, равно вы­со­те, с ко­то­рой оно упало: .

Тогда

Под­ста­нов­ка чисел дает

Рис 8. Пол­ное ре­ше­ние за­да­чи №3

Те­перь у нас есть пред­став­ле­ние о том, на­сколь­ко ве­ли­ка ра­бо­та в 1 джо­уль. Такая ра­бо­та со­вер­ша­ет­ся при па­де­нии гру­зи­ка мас­сой 100 г со стола вы­со­той 1 м.

Пе­ре­хо­дим к ре­ше­нию более слож­ных задач.

Задача №4

Со дна реки глу­би­ной 4 м под­ни­ма­ют ка­мень объ­е­мом 0,6 м³ на по­верх­ность. Плот­ность камня 2500 кг/м³, плот­ность воды 1000 кг/м³. Найти ра­бо­ту по подъ­ему камня.

Для ре­ше­ния за­да­чи необ­хо­ди­мо не толь­ко за­пи­сать крат­кое усло­вие за­да­чи, но и сде­лать схе­ма­ти­че­ский ри­су­нок и по­ка­зать силы, дей­ству­ю­щие на ка­мень. Это сила тяги F_т (ра­бо­ту имен­но этой силы мы будем на­хо­дить), сила тя­же­сти mg и сила Ар­хи­ме­да F_a. Кроме того, по­ка­жем вы­со­ту, на ко­то­рую сила тяги пе­ре­ме­ща­ет ка­мень (рис. 9).

Рис 9. К ре­ше­нию за­да­чи №4

Как видно из ри­сун­ка, ис­ко­мая ра­бо­та равна .

Для на­хож­де­ния силы тяги вос­поль­зу­ем­ся усло­ви­ем рав­но­ве­сия тела: если оно непо­движ­но или дви­жет­ся с по­сто­ян­ной ско­ро­стью, то рав­но­дей­ству­ю­щая всех сил, при­ло­жен­ных к нему, равна нулю.

, от­ку­да .

Массу камня вы­ра­зим через плот­ность камня и его объем, а силу Ар­хи­ме­да – через плот­ность воды и объем по­гру­жен­ной части камня (в этом за­да­че он равен объ­е­му всего камня). Объем камня и уско­ре­ние вы­но­сим за скоб­ки.

Оста­ет­ся под­ста­вить силу тяги в фор­му­лу для вы­чис­ле­ния ра­бо­ты

По­сколь­ку ра­бо­чая фор­му­ла по­лу­чи­лась более слож­ной, еди­ни­цы из­ме­ре­ния ре­зуль­та­та опре­де­лим от­дель­но от рас­че­та его чис­лен­но­го зна­че­ния.

Рис 10. Пол­ное ре­ше­ние за­да­чи №4

Задача №5

Пор­шень дви­га­те­ля пе­ре­ме­ща­ет­ся на 20 см под дав­ле­ни­ем 800 кПа. Опре­де­ли­те ра­бо­ту, со­вер­ша­е­мую дви­га­те­лем за один ход порш­ня, если пло­щадь порш­ня 150 см² (рис. 11).

Рис 11. К за­да­че №5

За­пи­шем крат­кое усло­вие и вы­ра­зим все еди­ни­цы в си­сте­ме СИ (рис. 12).

Рис. 12. Крат­кое усло­вие за­да­чи №5

В дан­ной за­да­че ра­бо­ту вы­пол­ня­ет сила дав­ле­ния газа в ци­лин­дре дви­га­те­ля. Для на­хож­де­ния этой силы необ­хо­ди­мо дав­ле­ние в ци­лин­дре умно­жить на пло­щадь порш­ня. Рас­сто­я­ние, прой­ден­ное порш­нем, мы обо­зна­чи­ли бук­вой l.

Еди­ни­цы из­ме­ре­ния ре­зуль­та­та:

Чис­лен­ное зна­че­ние ре­зуль­та­та:

Рис 13. Пол­ное ре­ше­ние за­да­чи №5

Задача №6

Найти КПД (ко­эф­фи­ци­ент по­лез­но­го дей­ствия) на­клон­ной плос­ко­сти (экс­пе­ри­мен­таль­ная) (рис. 14).

Рис. 14. Груз под­ни­ма­ют вверх по на­клон­ной плос­ко­сти

Под­ни­мая груз по на­клон­ной плос­ко­сти с по­мо­щью ди­на­мо­мет­ра, из­ме­рим силу, ко­то­рая для этого тре­бу­ет­ся. Она ока­зы­ва­ет­ся рав­ной 2,2 Н. Рас­сто­я­ние, прой­ден­ное гру­зом вдоль плос­ко­сти, из­ме­ря­ем ру­лет­кой. Оно со­ста­ви­ло 0,5 м. При этом груз под­нял­ся над сто­лом на вы­со­ту 20 см. Кроме того, из­вест­ны масса брус­ка, рав­ная 50 г, и общая масса трех под­ни­ма­е­мых гру­зов – 300 г.

По­лу­чен­ные опыт­ные дан­ные за­не­сем в крат­кое усло­вие за­да­чи, вы­ра­зим все ве­ли­чи­ны в еди­ни­цах си­сте­мы СИ и сде­ла­ем схе­ма­ти­че­ский ри­су­нок из­ме­ри­тель­ной уста­нов­ки (рис. 15).

Рис 15. Крат­кое усло­вие за­да­чи №6

Ко­эф­фи­ци­ен­том по­лез­но­го дей­ствия ме­ха­низ­ма на­зы­ва­ет­ся фи­зи­че­ская ве­ли­чи­на, рав­ная от­но­ше­нию по­лез­ной ра­бо­ты, со­вер­шен­ной ме­ха­низ­мом, к ра­бо­те, за­тра­чен­ной для при­ве­де­ния его в дей­ствие.

КПД также обо­зна­ча­ют гре­че­ской бук­вой η (эта) и часто вы­ра­жа­ют в про­цен­тах.

В нашем слу­чае ме­ха­низ­мом яв­ля­ет­ся на­клон­ная плос­кость.

По­лез­ная ра­бо­та – эта ра­бо­та, ко­то­рую нужно со­вер­шить, чтобы под­нять тело на вы­со­ту h.

За­тра­чен­ная ра­бо­та со­вер­ша­ет­ся силой тяги, то есть силой упру­го­сти пру­жи­ны ди­на­мо­мет­ра.

Тогда КПД равен

Опре­де­ля­ем еди­ни­цы из­ме­ре­ния КПД

Такой ре­зуль­тат озна­ча­ет, что КПД яв­ля­ет­ся без­раз­мер­ной ве­ли­чи­ной (про­сто число без еди­ниц из­ме­ре­ния).

Его чис­ло­вое зна­че­ние

Об­ра­ти­те вни­ма­ние, что ко­эф­фи­ци­ент по­лез­но­го дей­ствия не может быть боль­ше еди­ни­цы, по­сколь­ку по­лез­ная ра­бо­та все­гда мень­ше за­тра­чен­ной. Если у вас по­лу­чи­лось на­о­бо­рот, зна­чит, либо при из­ме­ре­ни­ях, либо в ходе вы­чис­ле­ний до­пу­ще­на ошиб­ка.

Рис 16. Пол­ное ре­ше­ние за­да­чи №6

Задача №7

Трак­тор рав­но­мер­но тянет плуг, при­ла­гая силу в 10 кН. За 10 мин он про­хо­дит путь 1,2 км. Опре­де­лить мощ­ность, раз­ви­ва­е­мую трак­то­ром (рис. 17).

Рис 17. К усло­вию за­да­чи №7

За­пись крат­ко­го усло­вия и пе­ре­вод ве­ли­чин в си­сте­му СИ будет вы­гля­деть так (рис. 18):

Рис 18. Крат­кое усло­вие за­да­чи №7

Для на­хож­де­ния мощ­но­сти нужно ра­бо­ту, вы­пол­нен­ную трак­то­ром, раз­де­лить на время ее вы­пол­не­ния. Ра­бо­та вы­чис­ля­ет­ся как про­из­ве­де­ние силы тяги трак­то­ра на прой­ден­ное трак­то­ром рас­сто­я­ние. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем:

Рис 19. Пол­ное ре­ше­ние за­да­чи №7

Задача №8

Поезд мас­сой 600 тонн рав­но­мер­но дви­жет­ся со ско­ро­стью 36 км/ч. Опре­де­лить раз­ви­ва­е­мую теп­ло­во­зом мощ­ность, если сила тре­ния со­став­ля­ет 0,002 веса по­ез­да.

 

Рис. 20. К усло­вию за­да­чи №8

За­пи­шем крат­кое усло­вие за­да­чи, вы­ра­зим ве­ли­чи­ны в еди­ни­цах си­сте­мы СИ, сде­ла­ем ри­су­нок, на ко­то­ром по­ка­жем силу тяги теп­ло­во­за и силу тре­ния (рис. 21).

Рис. 21. Крат­кое усло­вие за­да­чи №8

По­сколь­ку по усло­вию за­да­чи ско­рость по­ез­да не из­ме­ня­ет­ся и равна 36 км/ч, сила тяги равна силе тре­ния  Вес в слу­чае дви­же­ния с по­сто­ян­ной ско­ро­стью равен силе тя­же­сти  Тогда сила тяги равна

Для вы­чис­ле­ния мощ­но­сти вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой  от­ку­да

Под­ста­нов­ка дан­ных из усло­вия дает

Рис. 22. Пол­ное ре­ше­ние за­да­чи №8