Линейные неравенства с одной переменной. Равносильные неравенства

Неравенства вида ax>b или ax называют линейными неравенствами с одной переменной, где a и b некоторые числа, х – переменная (неизвестная), b – свободный член.
Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, при котором данное неравенство обращается в верное числовое неравенство.
Решить неравенство – это значит найти множество его решений или доказать, что их нет.
С помощью свойств числовых равенств можно решать уравнения, т. е. находить те значения переменной, при которых уравнение обращается в верное числовое равенство. Точно так же свойства числовых неравенств можно решать неравенства с переменной, т. е. находить те значения переменной, при которых неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство. Каждое такое значение переменной называют обычно решением неравенства с переменной.
Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными.
Замена одного неравенства равносильным ему другим неравенством называется равносильным переходом от одного неравенства к другому.
При решении неравенств обычно заменяют данное неравенство другим, более простым, но равносильным данному; полученное неравенство снова заменяют более простым, равносильным данному неравенству и т.д. Такие замены осуществляются на основе следующих утверждений:

1. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположенным знаком, не меняя при этом знак неравенства
2. Обе части неравенства можно умножать или делить на одно и то же положительное число, не меняя при знак неравенства
3. Обе части неравенства можно умножать или делить на одно и то же отрицательное число, при этом поменять знак неравенства на противоположенный знак

Применим эти правила для решения линейных неравенств, т. е. неравенств, сводящихся к виду ах + b > 0 (или ах + b < 0), где а и b - любые числа, за одним исключением:
Пример 1. Решить неравенство 
Решение. Перенесем член 7х в левую часть неравенства, а член - 5 — в правую часть неравенства, не забыв при этом изменить знаки и у члена 7х, и у члена - 5 (руководствуемся правилом 1). Тогда получим 

Разделим обе части последнего неравенства на одно и то же отрицательное число - 4, не забыв при этом перейти к неравенству противоположного смысла (руководствуясь правилом 3). 
Получим . Это и есть решение заданного неравенства.
Как мы условились, для записи решения можно использовать обозначение соответствующего промежутка числовой прямой:

При решении линейных неравенств применяем свойства из вышеуказанной темы. Рассмотрим решение некоторых неравенств:

1)  Решить неравенство: 

Решение:

Ответ: [1;+)

2)  Решить неравенство: 

Решение:

Ответ: (-; 3,5)

3)  Решить неравенство: 

Решение:

Ответ: (-; -15)

Вопросы к конспектам

В каких значениях х дробь  будет правильной?

Решите неравенство: 

Решите неравенство: