Решение задач на основное уравнение корпускулярно-волнового дуализма микромира

 Задача 1

Чему равна длина волны де Брой­ля элек­тро­на при ско­ро­сти . Ва­ри­ан­ты от­ве­та: 1. ; 2. ; 3. ; 4. .

Дано:  – ско­рость элек­тро­на;  – масса элек­тро­на.

Найти:  – длину волны

Ре­ше­ние

Для ре­ше­ния за­да­чи при­ме­ня­ем урав­не­ние де Брой­ля:

 ,

где  – по­сто­ян­ная План­ка.

Под­став­ля­ем в дан­ное урав­не­ние чис­ло­вые дан­ные:

 

Ответ: 1. 

 Задача 2

Найти сред­нюю длину волны атома во­до­ро­да при тем­пе­ра­ту­ре .

Дано:  – масса атома во­до­ро­да;  – под сред­ней ско­ро­стью под­ра­зу­ме­ва­ет­ся сред­няя квад­ра­тич­ная ско­рость; ; .

Найти:  – длину волны

Ре­ше­ние

Урав­не­ние кор­пус­ку­ляр­но-вол­но­во­го ду­а­лиз­ма де Брой­ля:

,

где  – по­сто­ян­ная План­ка.

Из курса мо­ле­ку­ляр­ной фи­зи­ки из­вест­но, что сред­няя квад­ра­тич­ная ско­рость равна:

,

где  – уни­вер­саль­ная га­зо­вая по­сто­ян­ная

Сле­до­ва­тель­но, длина волны равна:

 

Ответ: 

 Задача 3

Найти длину волны элек­тро­на, уско­рен­но­го раз­но­стью по­тен­ци­а­лов .

Дано:  – заряд элек­тро­на;  – масса элек­тро­на; ; ;  – на­пря­же­ния уско­ря­ю­ще­го элек­три­че­ско­го поля; – ско­рость света.

Найти:  – длину волны

Ре­ше­ние

Для ре­ше­ния за­да­чи при­ме­ня­ем урав­не­ние де Брой­ля:

 

Из курса элек­тро­ди­на­ми­ки из­вест­на фор­му­ла ра­бо­ты элек­три­че­ско­го поля, ко­то­рая идет на по­вы­ше­ние ки­не­ти­че­ской энер­гии элек­тро­на:

 

Из этого урав­не­ния вы­ра­жа­ем ско­рость, ко­то­рую по­лу­ча­ет элек­трон в элек­три­че­ском поле:

 

Если про­ве­сти рас­чёт, то можно уви­деть что при на­пря­же­нии  ско­рость элек­тро­на на­мно­го мень­ше ско­ро­сти света, а при на­пря­же­нии  и  – боль­ше ско­ро­сти света, и в таком слу­чае ре­шать за­да­чу с по­мо­щью дан­ной фор­му­лы нель­зя.

1. Вы­чис­лим длину волны для пер­во­го на­пря­же­ния.

 

 

 – нере­ля­ти­вист­ское вы­ра­же­ние для им­пуль­са

Под­став­ля­ем его в урав­не­ние де Брой­ля:

 

2. Для вы­ве­де­ния фор­му­лы им­пуль­са в ре­ля­ти­вист­ском слу­чае вспом­ним вы­ра­же­ние пол­ной энер­гии из раз­де­ла «Ос­но­вы тео­рии от­но­си­тель­но­сти».

 – ко­неч­ная энер­гия

 – на­чаль­ная энер­гия

 

То есть уско­ря­ю­щее элек­три­че­ское поле со­вер­ши­ло ра­бо­ту  и из-за этого про­изо­шло из­ме­не­ние массы. Для того чтобы вы­брать спо­соб ре­ше­ния (ре­ля­ти­вист­ский или нере­ля­ти­вист­ский), необ­хо­ди­мо оце­нить из­ме­не­ние массы:

 

Если  будет мало по срав­не­нию с мас­сой покоя элек­тро­на, то можно ис­поль­зо­вать нере­ля­ти­вист­скую фор­му­лу для им­пуль­са.

Если  со­из­ме­ри­ма с мас­сой покоя элек­тро­на, то ис­поль­зу­ем ре­ля­ти­вист­ский спо­соб ре­ше­ния, ко­то­рый ос­но­ван на сле­ду­ю­щем со­от­но­ше­нии (из раз­де­ла «Ос­но­вы тео­рии от­но­си­тель­но­сти»):

 

Из этого вы­ра­же­ния необ­хо­ди­мо вы­ра­зить им­пульс p:

 

 

Так как

 

 

То:

 

 

Под­став­ля­ем вы­ра­же­ние для им­пуль­са в урав­не­ние де Брой­ля:

 

В дан­ную фор­му­лу под­став­ля­ем фи­зи­че­ские по­сто­ян­ные:

 

Мы по­лу­чи­ли фор­му­лу вы­чис­ле­ния длины волны элек­тро­на в ре­ля­ти­вист­ском слу­чае при любом зна­че­нии на­пря­же­ния.

3. Для на­пря­же­ния  длина волны элек­тро­на равна:

  

Для на­пря­же­ния  длина волны элек­тро­на равна:

 

Ответ: ;