Решение задач на тему "Законы постоянного тока"

 1. Задача №1

Усло­вие пер­вой за­да­чи зву­чит сле­ду­ю­щим об­ра­зом. Ка­ко­ва длина мед­но­го ци­лин­дри­че­ско­го про­вод­ни­ка, если при его под­клю­че­нии в цепь с на­пря­же­ни­ем в 1 В на время 15 с его тем­пе­ра­ту­ра уве­ли­чит­ся на 10 К?

Так как ни­че­го не ска­за­но о ка­ком-ли­бо дру­гом дей­ствии тока, зна­чит, счи­та­ем, что вся энер­гия тока идет в вы­де­ле­ние тепла.

Поль­зу­ясь зна­ни­я­ми из раз­де­ла мо­ле­ку­ляр­ной фи­зи­ки, за­пи­шем, какое ко­ли­че­ство теп­ло­ты тре­бу­ет­ся для на­гре­ва­ния ука­зан­но­го ко­ли­че­ства меди на ука­зан­ное ко­ли­че­ство гра­ду­сов:

Здесь:  – удель­ная теп­ло­ем­кость меди (таб­лич­ная ве­ли­чи­на);  – масса про­во­да;  – при­рост тем­пе­ра­ту­ры.

C дугой сто­ро­ны за­пи­шем то же самое ко­ли­че­ство теп­ло­ты, но с уче­том того, что имен­но столь­ко вы­де­ли­лось в про­во­дах в ре­зуль­та­те про­те­ка­ния тока. То есть вос­поль­зу­ем­ся за­ко­ном Джо­у­ля-Лен­ца:

Но  с уче­том того, какие дан­ные нам из­вест­ны по усло­вию, це­ле­со­об­раз­нее будет за­пи­сать эту фор­му­лу в виде:

Так как эти две ве­ли­чи­ны яв­ля­ют­ся одним и тем же, толь­ко за­пи­сан­ны­ми в раз­ном виде (сколь­ко тепла вы­де­ли­лось при про­хож­де­нии тока, столь­ко и пошло на на­гре­ва­ние мед­ных про­во­дов, по­те­ря­ми в окру­жа­ю­щую среду можем пре­не­бречь), урав­ня­ем их:

Рас­пи­шем те­перь все неиз­вест­ные мно­жи­те­ли на из­вест­ные или таб­лич­ные ве­ли­чи­ны.

Рас­пи­шем массу меди, как:

Здесь:  – плот­ность меди (таб­лич­ная ве­ли­чи­на);  – объем про­вод­ни­ка

Так как про­вод­ник ци­лин­дри­че­ский, можем рас­пи­сать объем:

Здесь:  – пло­щадь се­че­ния про­вод­ни­ка;  – его длина

Также сле­ду­ет рас­пи­сать со­про­тив­ле­ние ци­лин­дри­че­ско­го про­вод­ни­ка по со­от­вет­ству­ю­щей фор­му­ле:

Здесь:  – удель­ное со­про­тив­ле­ние меди (таб­лич­ная ве­ли­чи­на)

Под­ста­вим те­перь все фор­му­лы в глав­ное урав­не­ние:

Со­кра­тив пло­щадь се­че­ния и вы­ра­зив длину из этого вы­ра­же­ния, мы по­лу­чим фор­му­лу для фи­наль­но­го под­сче­та:

Под­ста­вив дан­ные из усло­вия и таб­лич­ные дан­ные, по­лу­ча­ем:

Ответ: 

 2. Задача №2

В схеме, ука­зан­ной на ри­сун­ке 1:

Рис. 1.

Ключ пе­ре­клю­ча­ет­ся между двумя ре­зи­сто­ра­ми, со­про­тив­ле­ния ко­то­рых равны: , . При­чем из­вест­но, что вы­де­ля­е­мая мощ­ность в одном и дру­гом слу­чае оди­на­ко­ва. Найти внут­рен­нее со­про­тив­ле­ние ис­точ­ни­ка.

Для со­став­ле­ния ба­зо­во­го урав­не­ния вос­поль­зу­ем­ся тем фак­том, что мощ­ность на каж­дом ре­зи­сто­ре одна и та же:

И вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой для мощ­но­сти в удоб­ном для нас виде:

Те­перь вос­поль­зу­ем­ся за­ко­ном Ома для пол­ной цепи, чтобы рас­пи­сать силу тока:

После со­кра­ще­ния оди­на­ко­вой ЭДС по­лу­чим урав­не­ние с одним неиз­вест­ным:

Далее ре­ша­ем ма­те­ма­ти­че­ское урав­не­ние любым удоб­ным спо­со­бом:

Ответ: 

 3. Вставка 1. Электрическая цепь, содержащая электроемкость

В цепи, ука­зан­ной на ри­сун­ке 2, между об­клад­ка­ми кон­ден­са­то­ра на­блю­да­ет­ся элек­три­че­ское поле на­пря­жен­но­стью 4 . Опре­де­лить ЭДС ис­точ­ни­ка, если рас­сто­я­ние между пла­сти­на­ми кон­ден­са­то­ра – 2 мм, со­про­тив­ле­ние ре­зи­сто­ра – 8 Ом, а внут­рен­нее со­про­тив­ле­ние ис­точ­ни­ка – 1 Ом.

Рис. 2.

Самое глав­ное – пом­нить, что так как на схеме по­ка­зан ис­точ­ник по­сто­ян­но­го тока, кон­ден­са­тор на схеме эк­ви­ва­лен­тен об­ры­ву, и через него ток не идет.

Для на­хож­де­ния ЭДС за­пи­шем закон Ома для пол­ной цепи:

Из име­ю­щих­ся дан­ных ста­но­вит­ся по­нят­но, что для на­хож­де­ния ЭДС обя­за­тель­но нужно знать зна­че­ние силы тока в цепи. Для его на­хож­де­ния мы те­перь уже рас­смот­рим толь­ко внеш­нюю цепь и за­пи­шем закон Ома для участ­ка цепи:

Так как кон­ден­са­тор и ре­зи­стор со­еди­не­ны па­рал­лель­но, то на ре­зи­сто­ре такое же на­пря­же­ние, как и на кон­ден­са­то­ре. По­след­нее мы можем найти, вос­поль­зо­вав­шись фор­му­лой из элек­тро­ста­ти­ки для од­но­род­но­го поля (ко­то­рое и со­зда­ет­ся между об­клад­ка­ми кон­ден­са­то­ра):

Под­ста­вим те­перь все вы­ра­же­ние в закон Ома для пол­ной цепи:

Вы­ра­зим те­перь ЭДС из этого урав­не­ния:

Ответ: 

 4. Вставка 2. Задачи на правила Кирхгофа

В схеме, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке 3, ис­точ­ни­ки об­ла­да­ют сле­ду­ю­щи­ми ха­рак­те­ри­сти­ка­ми:  В, ;  В, . Со­про­тив­ле­ние ре­зи­сто­ра равно 5 Ом. Найти силу тока, про­те­ка­ю­ще­го через ре­зи­стор.

Рис. 3.

Для того чтобы ре­шить за­да­чу ме­то­дом Кирх­го­фа, необ­хо­ди­мо для удоб­ства от­ме­тить на­прав­ле­ние те­че­ния токов.

Вос­поль­зу­ем­ся пер­вым пра­ви­лом Кирх­го­фа для узла А:

Так как токи и  в узел вхо­дят, а ток  вы­хо­дит из него.

Для на­хож­де­ния токов и  вос­поль­зу­ем­ся те­перь два­жды вто­рым пра­ви­лом Кирх­го­фа.

Рас­смот­рим кон­тур, вклю­ча­ю­щий в себя со­про­тив­ле­ние R и ис­точ­ник 1. Со­глас­но пра­ви­лу, сумма па­де­ний на­пря­же­ния в кон­ту­ре равна сумме ЭДС:

Для левой части урав­не­ния  ста­вит­ся, если на­прав­ле­ние об­хо­да сов­па­да­ет с на­прав­ле­ни­ем тока,  – если нет. Для пра­вой  , если обход со­вер­ша­ет­ся от от­ри­ца­тель­но­го по­лю­са ис­точ­ни­ка к по­ло­жи­тель­но­му.

Вто­рое пра­ви­ло за­пи­шем и для кон­ту­ра с со­про­тив­ле­ни­ем R и ис­точ­ни­ком 2:

Те­перь из урав­не­ний, по­лу­чен­ных путем за­пи­сы­ва­ния вто­ро­го пра­ви­ла, вы­ра­зим силы тока на каж­дом ис­точ­ни­ке:

Те­перь под­ста­вим по­лу­чен­ные ре­зуль­та­ты в урав­не­ние пер­во­го пра­ви­ла Кирх­го­фа

По­лу­чен­ное урав­не­ние – ли­ней­ное урав­не­ние одной неиз­вест­ной:

Ответ: