Независимое событие

    Два события A и B называются независимыми, если P(A/B) = P(A); P(B) = P(B/A) - доказать.

В этом случае вероятность наступления двух событий A и B равна P(AB)=P(B)P(A/B)=P(A)P(B),

при этом покажем, что P(B/A)=P(B); P(AB)=P(B)P(A)=P(A)P(B/A)

    События A1A2...Ak называются независимыми между собой, если вероятность их совместного наступления  P(A₁A₂...A_k) =P(A_i); P(A_j/A₁A₂...A_j-1).

Два независимых события совместны.

* Если бы события были несовместны, то P(A/B) = 0 и P(B/A) = 0, т.к. они независимы, то P(A/B) = P(A) и P(B/A) = P(B), т.е. утверждение “независимые события несовместны”, т.к. P(A) = 0 и P(B) = 0, то это утверждение неверно.

Правила сложения и умножения вероятностей

    Во многих задачах сложные события, вероятности которых надо найти, удается выразить в виде комбинации других, более простых событий, причем вероятности последних либо заданы, либо непосредственно подсчитываются. В таком случае для решения задач можно использовать формулы, выражающие вероятности суммы и произведения событий через вероятности соответствующих слагаемых и сомножителей.

Правила сложения и умножения вероятностей: если события A₁A₂,...,A_n,... попарно несовместны, то справедливо равенство

p(A₁ + A₂, + ... + A_n + ...) = p(A₁) + p(A₂) + ... + p(A_n) + ...   (1)

Из правила сложения вероятностей для двух событий вытекает правило нахождения вероятности противоположного события:

p() = 1 - p(A)   (2)

Для произвольных событий A и B имеет место формула:

p(A + B) = p(A) + p(B) - p(AB)   (3)

В случае n слагаемых (n>2) эта формула принимает вид:

...+ (-1)ⁿp(A₁A₂...A_n)    (4) 

Вероятность p(В|А) события В при условии наступления события А по определению равна:

   (5)

Из этого определения следует формула для вычисления вероятности произведения двух событий:

p(AB) = p(A) * p(B|A)   (6)

Для вычисления вероятности произведения n событий (n>2) служит общая формула:

p(A₁A₂...A_n) = p(A₁)p(A₂|A₁)p(A₃|A₁A₂) + ... + p(A_n|A₁A₂...A_n-1)   (7)

События A₁,A₂,...,A_n называются независимыми в совокупности, если вероятность любого из них не меняется при наступлении какого угодно числа событий из остальных.

Правило умножения вероятностей для n событий: если события A₁,A₂,...,A_n независимы, то вероятность их произведения равна произведению их вероятностей, т.е.

p(A₁A₂...A_n) = p(A1)p(A2)...p(A_n)   (8)

Вычисление вероятности суммы событий можно свести к вычислению вероятности произведения противоположных событий по формуле

p(A₁ + A₂ +...+ A_n) = 1 - p(₁₂..._n)    (9)

В частности, если события A₁,A₂,...,A_n независимы, то

p(A₁ + A₂ +...+ A_n) = 1 - p(₁₂..._n) = 1 - (1 - p(A₁))(1 - p(A₂))...(1 - p(A_n))   (10) 

Пример 1.

Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, а для второго – 0,6. Стрелки независимо друг от друга сделалают по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один из стрелков?

Решение.

Введем обозначения: событие A – попадание первого стрелка, событие B – попадание второго стрелка, событие С – попадание хотя бы одного из стрелков.

Тогда, очевидно С = А + В, причем события А и В совместны. Следовательно, по формуле (3)

p(C) = p(A) + p(B) - p(AB)

Так как события А и В независимы, то

p(C) = p(A) + p(B) - p(A)p(B)

Наконец, учитывая, что p(A) = 0,8, p(B) = 0,6, получаем:

p(C) = 0,8 + 0.6 - 0,8*0,6 = 0,92

 О сумме вероятностей

Если происходят независимые события, то вероятность таких событий равна сумме вероятностей этих событий:

 Р(А + В) = Р(А) + Р(В)

1. Пример с игральной костью:

    Бросаем игральную кость. Какова вероятность выпадения числа меньшего четырёх?

    Числа меньшие четырёх это 1,2,3. Мы знаем, что вероятность выпадения единицы равна 1/6, двойки 1/6, тройки 1/6. Это несовместные события. Можем применить правило сложения. Вероятность выпадения числа меньшего четырёх равна:

    Действительно, если исходить из понятия классической вероятности: то число всевозможных исходов равно 6 (число всех граней кубика), число благоприятных исходов равно 3 (выпадение единицы, двойки или тройки). Искомая вероятность равна 3 к 6 или 3/6  = 0,5.

Об умножении вероятностей

    Пусть происходят два несовместных события А и В, их вероятности  соответственно равны Р(А) и Р(В). Тогда вероятность совершения событий А и В одновременно равна произведению вероятностей. Вычисляется по формуле:

Р(А×В) = Р(А)×Р(В)

2. Пример с той же игральной костью:

    Бросаем игральную кость два раза. Какова вероятность выпадения двух шестёрок?

    Вероятность выпадения шестёрки первый раз равна 1/6. Во второй раз так же равна  1/6. Оба эти события несовместные (независимые). Вероятность выпадения шестёрки в первый раз и во второй раз равна произведению:

    Говоря простым языком: когда происходит событие, и ПРИ ЭТОМ происходит другое, вероятности этих событий перемножаются.

    Задачи с игральной костью мы решали, но пользовались только логическими рассуждениями, формулу произведения не использовали. В рассматриваемых же ниже задачах без формул не обойтись, вернее с ними будет получить результат проще и быстрее.

    Стоит сказать ещё об одном нюансе. При рассуждениях при решении задач используется  понятие ОДНОВРЕМЕННОСТЬ совершения независимых событий. Независимые события происходят ОДНОВРЕМЕННО  -это не означает, что они происходят в одну секунду. Это значит, что они происходят в оговоренный промежуток времени или при одном испытании.

Например:

Две лампы перегорают в течение года (одновременно в течение года)

Два автомата ломаются в течении месяца (одновременно в течение месяца)

Игральная кость бросается три раза (очки выпадают одновременно при одном  испытании)

Биатлонист делает пять выстрелов. События (выстрелы) происходят одновременно во время одного испытания.

Рассмотрим задачи.

Задача 1.

Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 35 % этих стекол, вторая –– 65%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных стекол, а вторая –– 2%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение.

Первая фабрика выпускает 0,35 продукции (стёкол). Вероятность купить бракованное стекло с первой фабрики равна 0,04.

Вторая фабрика выпускает 0,65 стёкол. Вероятность купить бракованное стекло со второй фабрики равна 0,02.

Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике И при этом оно окажется бракованным равна  0,35∙0,04 = 0,014.

Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике И при этом оно окажется бракованным равна  0,65∙0,02 = 0,013.

Покупка в магазине бракованного стекла подразумевает, что оно (бракованное стекло) куплено ЛИБО с первой фабрики, ЛИБО со второй. Это независимые события, то есть полученные вероятности складываем:

0,0140 + 0,0130 = 0,027

Ответ: 0,027

Задача 2.

Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера В. с вероятностью 0,62. Если А. играет черными, то А. выигрывает у В с вероятностью 0,2. Гроссмейстеры А. и В играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение.

Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Сказано, что гроссмейстер должен выиграть оба раза. То есть, выиграть первый раз И при этом ещё выиграть ещё второй раз. В случае, когда происходят независимые события при условии того, что они выполняются определённым образом (происходят одновременно), то вероятности этих событий перемножаются (используется правило умножения).

Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей:  0,62∙0,2 = 0,124.

Ответ: 0,124

Задача 3.

На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,3. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение.

То есть необходимо найти вероятность того, что школьнику достанется вопрос ЛИБО по теме «Вписанная окружность», ЛИБО по теме «Параллелограмм». В данном случае вероятности складываются, так как это события несовместные (независимые) и произойти может любое из этих событий:  0,3 + 0,25 = 0,55.

*Несовместные (независимые) события – это события, которые не могут произойти одновременно.

Ответ: 0,55