Числовые характеристики случайной величины

    Используя формулы для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения нетрудно убедится, что для показательного распределения

    Таким образом, для показательного распределения характерно, что среднее квадратическое отклонение численно равно математическому ожиданию.

Найдем вероятность попадания СВ в интервал (a,b):

P(a, b) = F(b) - F(a) = e^-μb - e^-μa

Функция надежности

    Пусть некоторое устройство начинает работать в момент времени t₀ = 0, а по истечении времени длительностью t происходит отказ. Обозначим через Т НСВ - длительность времени безотказной работы устройства. Если устройство проработало безотказно время меньшее t, то, следовательно, за время длительностью t наступит отказ. Тогда функция распределения F(t)=P(T<t)=1- e^-mt определяет вероятность отказа устройства за время t.

Найдем вероятность противоположного события- безотказной работы за время t:

P(T>t) = 1 - F(t) = e^-μt

Функция R(t) называется функцией надежности.

Выясним смысл числовых характеристик и параметра распределения.

Математическое ожидание - это среднее время между двумя ближайшими отказами устройства, а величина обратная математическому ожиданию (параметр распределения)- интенсивность отказов, т.е. количество отказов в единицу времени.

Пример. Время безотказной работы устройства распределено по закону

f(t) = 0,02e^-0,02t, t ≥ 0.

Найти среднее время безотказной работы устройства, вероятность того, что устройство не откажет за среднее время безотказной работы. Найти вероятность отказа за время t = 100 часов.

Решение:

По условию интенсивность отказов m = 0,02. Тогда среднее время между двумя отказами, т.е. математическое ожидание М(Х)=1/0,02=50 часов. Вероятность безотказной работы за этот промежуток времени вычислим по функции надежности:

R(50) = e^-0,02*50 = e^-1 ≈ 0,37.

По функции F(t) вычислим вероятность отказа за время t =100 часов:

F(100) = 1 - e^-0,02*100 = 1 - e^-2 ≈ 0,86.

Вопросы к конспектам