Определенный интеграл

Что такое определенный интеграл? Чем он отличается от неопределенного, с которым мы уже достаточно знакомы.

Сравните:

 - неопределенный интеграл.

 - определенный интеграл.

a и b - это границы, в которых изменяется переменная интегрирования x.

Сравниваем далее:

 = F(x) + C - определение неопределенного интеграла.

 =  = F(b) - F(a) - формула Ньютона - Лейбница.

Определенный интеграл представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции y = f(x), снизу — осью Ох, а слева и справа прямыми x = a и х = b. Значение определенного интеграла есть площадь S этой криволинейной трапеции:  =  = F(b) - F(a) - формула Ньютона - Лейбница.

 Рассмотрим примеры на вычисление определенного интеграла

Пример 1.

Найдем первообразную F(x) для подынтегральной функции f (x)=3x² - 2x + 1, а затем применим формулу Ньютона-Лейбница.

Пример 2.

Возникает вопрос: раз определенный интеграл выражает собой площадь криволинейной трапеции, то нельзя ли увидеть эту криволинейную трапецию? А можно! Проиллюстрируем пример 2.

Полученный результат выражает площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = (x + 1)⁴, осью Ох и прямыми: х = 0 (осью Оy) и х = 1.

График функции y = (x + 1)⁴ - парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке О′(-1;0)

Площадь этой криволинейной трапеции: 

Пример 3

Перед зданием школы решено разбить клумбу. Но по форме клумба не должна быть круглой, квадратной или прямоугольной. Она должна содержать в себе прямые и кривые линии. Пусть она будет плоской фигурой, ограниченной линиями:  у = x²; y = 4; Необходимо подсчитать сколько денег можно получить за вскапывание этой клумбы, если за каждый квадратный метр выплачивается 200 тенге?

Значит, имеем фигуру:

 у = x²; х = 4;

 1 м² – 200 тенге.

Заработок - ?

Изобразим эти линии на координатной плоскости и выделим искомую фигуру.

Чтобы определить площадь клумбы необходимо вычислить площадь криволинейной трапеции по следующей формуле:

Чтобы определить стоимость работы, необходимо полученную сумму умножить на 200:

тенге ≈ 22000 тенге

Пример 4.

С помощью интеграла в физике решается большое количество задач на определение пути по известному закону изменения мгновенной скорости и вычисления работы переменной силы по формуле:

 и 

Например:

Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 0,08 м, если для ее сжатия на 0,01 м требуется сила 10 Н.

Решение:

по закону Гука сила F пропорциональна растяжению или сжатию пружины, т.е. F = kx, где х - величина растяжения или сжатия (в м); k – постоянная. Из условия находим k. Так как при x=0,01 м, F=10Н, то k = F/x = 1000.

Следовательно: F(x)=kx=1000x.

Работа силы F(x) при перемещении тела из точки а в точку b равна: 

Используем данные и получаем: 

Пример 5.

Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее производную неизвестной функции.

Решить дифференциальное уравнение – значит найти эту самую функцию.

Но решение дифференциального уравнения определяется неоднозначно. Поэтому для его решения требуется дополнительное условие.

Например: уравнение у = x + 1 – это дифференциальное уравнение.

Требуется найти функцию Y(x), производная от которой равна х+1.

Т.е. найти первообразную. Тогда первообразная ,  где с – постоянная – общее решение. Если взять условие, что Y(0) = 3, то находим: 3 = 0 + 0 + с или с=3.

Тогда  - частное решение.

В практике часто встречаются процессы, которые периодически повторяются: колебательные движения маятника, струны, пружины и т.д., т.е. процессы связанны с переменным электрическим током, магнитным полем.

Решение таких задач сводится к решению дифференциального уравнения.

Y''= - ω²y – дифференциальное уравнение гармоничных колебаний.

ω – заданное положительное число.

Y= y'(x);  Y''= (y'(x))'

Решением являются функции:

Y(x) = Asin(ωx + φ)

A – амплитуда колебания.

ω – частота, φ – начальная фаза.

Графиком гармонических колебаний является синусоида.

Например: .

Пример 6.

 Решение многих физических задач сводится к решению дифференциального равнения.

Y` = ky, где k – заданное число.

Решением этого уравнения является функция:

Y = C℮^kx, где С – постоянная, определяемая условием конкретной задачи.

Например:

Скорость m`(t) размножения бактерий связана с массой m(t) бактерий в момент времени t .

Уравнением: m`(t) = km(t), где k – положительное число, зависящее от вида бактерий и внешних условий.

Решениями этого уравнения является  функция: m(t) = C℮^kx.

Постоянную С можно найти, например, из условия, что в момент t=0 масса m₀ бактерий известна.

Тогда m(0) = m₀ = Ce^ko = C и поэтому m(t) = m₀℮^kt.

Вопросы к конспектам

Вычислите интеграл: 

Вычислите интеграл: 

Решите уравнение: 

Вычислите: 

Вычислите: 

Вычислите: 

Вычислите: 

Вычислите интеграл: 

Вычислите интеграл: 

Вычислите: