Площадь криволинейной трапеции

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f(x), снизу — осью Ох, слева и справа прямыми х = a, x = b, находят по формуле Ньютона-Лейбница:

$begin mathsize 12px style S equals integral subscript a superscript b f open parentheses x close parentheses d x equals F open parentheses x close parentheses subscript a superscript b equals F open parentheses b close parentheses minus F open parentheses a close parentheses end style$

Пример 1.

Найти площадь криволинейной трапеции ограниченной линиями: y = 4x - x²; y = 0; x = 0; x = 4

Решение.

Строим графики данных линий. 1) y = 4x - x² — парабола (вида y = ax² + bx + c). Запишем данное уравнение в общем виде: y = -x² + 4x. Ветви этой параболы направлены вниз, так как первый коэффициент а = -1 < 0.

Вершина параболы находится в точке О' (m; n), где

$begin mathsize 12px style m equals negative fraction numerator b over denominator 2 a end fraction equals negative fraction numerator 4 over denominator 2 open parentheses negative 1 close parentheses end fraction equals 2 semicolon end style$ $begin mathsize 12px style n equals y open parentheses m close parentheses equals 4 asterisk times 2 minus 2 squared end style$

О′(2; 4). Нули функции (точки пересечения графика с осью Ох) найдем из уравнения

4х - х² = 0.

Выносим х за скобки, получаем: х(4 - х) = 0. Отсюда, х = 0 или х = 4. Абсциссы точек найдены, ордината равна нулю — искомые точки: (0; 0) и (4;0).

2) y = 0 — это ось Ох;

3) х = 0 — это ось Оy;

4) х = 4 — прямая, параллельная оси Оу и отстоящая от нее на 4 единичных отрезка вправо.

Площадь построенной криволинейной трапеции находим по формуле Ньютона - Лейбница. У нас f(x) = 4x - x², a = 0, b = 4.

$begin mathsize 12px style S equals integral subscript 0 superscript 4 open parentheses 4 x minus x squared close parentheses d x equals end style$ $begin mathsize 12px style right enclose open parentheses 4 asterisk times x squared over 2 minus x cubed over 3 close parentheses end enclose subscript 0 superscript 4 equals end style$ $begin mathsize 12px style right enclose open parentheses 2 x squared minus x cubed over 3 close parentheses end enclose subscript 0 superscript 4 equals end style$ $begin mathsize 12px style 2 asterisk times 4 squared asterisk times 4 cubed over 3 equals end style$ $begin mathsize 12px style 32 minus 64 over 3 equals end style$ $begin mathsize 12px style 32 minus 21 1 third equals end style$ $begin mathsize 12px style 10 2 over 3 open parentheses к в. е close parentheses end style$

Ответ: $begin mathsize 12px style S equals 10 2 over 3 open parentheses к в. е close parentheses end style$

Кстати, если Вы подсчитаете все целые заштрихованные клетки и добавите к ним половину всех остальных клеток заштрихованной фигуры, то получите приближенное значение искомой площади. Действительно, если единичный отрезок равен одной клетке, то площадь квадратика со стороной, равной 1 клетке, равно 1×1 - 1 (кв. ед.). Сколько квадратиков — столько квадратных единиц и составляет площадь фигуры.

Пример 2.

Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: y = cosx; y = 0; x = $begin mathsize 12px style negative straight pi over 3 end style$ ; x = $begin mathsize 12px style straight pi over 6 end style$ ;

Решение.

Строим графики данных линий

Площадь данной криволинейной трапеции:

$begin mathsize 12px style S equals integral subscript negative straight pi over 3 end subscript superscript straight pi over 6 end superscript cos x d x equals end style$ $begin mathsize 14px style sin vertical line from fraction numerator negative pi over denominator 3 end fraction to pi over 6 of equals end style$ $begin mathsize 12px style sin straight pi over 6 minus sin open parentheses negative straight pi over 3 close parentheses equals end style$ $begin mathsize 12px style 1 half plus fraction numerator square root of 3 over denominator 2 end fraction equals end style$ $begin mathsize 12px style fraction numerator 1 plus square root of 3 over denominator 2 end fraction end style$

Ответ: $begin mathsize 12px style S equals fraction numerator 1 plus square root of 3 over denominator 2 end fraction end style$

Вопросы к конспектам

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x² – 2, y = 2

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y =

begin mathsize 12px style square root of x end style

, y = 0 и x = 4

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x³ и x = y³

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: y =

begin mathsize 12px style square root of x end style

, y = x – 6 и y = 0

Найдите площадь треугольника, ограниченного линиями: у = х – 3; у = –х – 3; у = 0.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = 4х – х2 , у = x - 4

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = –х3, у = х2, x = 2

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2x², y = 0 и x = 3.

Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = 4х² – 1 и осью абсцисс

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х²; у = 2 – х²

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4 – x², y = –4x + 8 и осью Оу

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2 – 2х, у = 1 – х2 и x="0"

Последнее изменение: Пятница, 17 Февраль 2017, 10:01