Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямых. Перпендикулярность плоскостей

Угол между двумя пересекающимися прямыми измеряется так же, как и в планиметрии ( так как через эти прямые можно провести плоскость ). Итак, углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения.

Угол между двумя параллельными прямыми принимается равным 0 или 180°.

Угол между двумя скрещивающимися прямыми а и b  определяется следующим образом: через любую точку С проводят лучи a’и b’ так, что a || a’ и b|| b’. Тогда угол между a’ и b’ принимается равным  углу ab. Другими словами, прямые  a и b переносятся в новое положение параллельно самим себе до пересечения. В частности, точка C может быть взята на одной из прямых a или b, которая в этом случае будет неподвижной.

Итак, углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным.

Перпендикулярность прямых в пространстве

Две прямые называются перпендикулярными в пространстве, если угол между ними равен 90⁰

Лемма: Если одна из двух прямых перпендикулярна к третьей прямой, то другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Дано: a || b, ac

Доказать: bc

Доказательство:

Через т. М (Ма, Ми Мс) проведем прямые МА||a и МС||c. Так как ас (по условию), то  АМС = 90º. По условию a||b и МА||a (по построению) значит, b||MA (по теореме о трех параллельных прямых). Тогда прямые b и с параллельны соответственно МА и МС, угол между которыми 90º bc, что и требовалось доказать.

Определение:

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей на этой плоскости.

(Возможна запись: аα или αа).

Прямая, перпендикулярная к плоскости пересекает эту плоскость.

аα ab, ac, ad.

Теорема: 

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая также перпендикулярна к этой плоскости.

Дано: a||b, аα

Доказать: bα

Доказательство:

Проведем в плоскости α произвольную прямую с. Так как аα, то ас (по определению). Согласно лемме, если а перпендикулярна с, то и b, параллельная а также перпендикулярная с. Так как с – произвольная прямая, то и перпендикулярна α (по определению). Что и требовалось доказать.

Теорема (обратная): 

Если 2 прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Теорема: 

Если прямая, не лежащая в плоскости перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то прямая и плоскость перпендикулярны.

Дано: 

mα, nα, mn = 0,1m, 1n

Доказать:

1α.

Доказательство:

Проведем прямую р так, чтобы Ор и р||1. 1n и р||1pn и pm. Пусть Р и Р₁ - точки прямой р такие, что ОР = ОР₁. Тогда m и n - оси симметрии и значит, α - плоскость симметрии ля этих точек, а следовательно, рα. pα и р||11α. Что и требовалось доказать.

Свойства перпендикулярных прямой и плоскости:

1. Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.
2. Если две плоскости a и b перпендикулярны к прямой а ,то они параллельны.
3. Если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямой, то и другая плоскость перпендикулярна к этой прямой.

Теорема: Через любую точку пространства не принадлежащую плоскости проходит прямая перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Дано:

α, Аα.

Доказать:

 ! с|Ac, cα.

Доказательство:

1. 1. Проведем в плоскости α произвольную прямую а; построим плоскость βα, проходящую через т. А βα=b В плоскости β через А проведем прямую с|cα (cβ по построению са, т.к. βα). Значит, с и есть искомая прямая.
   2. Докажем, что она единственная. Допустим, что это не так и существует прямая с₁α, тогда с||c₁, что не возможно т.к. сс₁=А. Таким образом, через А проходит только одна прямая к плоскости α.

Что и требовалось доказать.