Угол между прямой и плоскостью. Угол между плоскостями. Двугранный угол. Перпендикулярные плоскости

Если две прямые лежат в одной плоскости, угол между ними легко измерить — например, с помощью транспортира. А как измерить угол между прямой и плоскостью?

Пусть прямая пересекает плоскость, причем не под прямым, а под каким-то другим углом. Такая прямая называется наклонной.

Опустим перпендикуляр из какой-либо точки наклонной на нашу плоскость. Соединим основание перпендикуляра с точкой пересечения наклонной и плоскости. Мы получили проекцию наклонной на плоскость.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Обратите внимание — в качестве угла между прямой и плоскостью мы выбираем острый угол.

Если прямая параллельна плоскости, значит, угол между прямой и плоскостью равен нулю.

Если прямая перпендикулярна плоскости, ее проекцией на плоскость окажется точка. Очевидно, в этом случае угол между прямой и плоскостью равен 90°.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Это определение. Но как же с ним работать? Как проверить, что данная прямая перпендикулярна всем прямым, лежащим в плоскости? Ведь их там бесконечно много.

На практике применяется признак перпендикулярности прямой и плоскости:

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Рассмотрим полуплоскости α и β образованные при пересечении двух плоскостей. Угол, образованный прямой АВ и двумя полуплоскостями α и β называется двугранным углом. При этом полуплоскости образующие двугранный угол называются гранями, прямая a по которой пересекаются плоскости называется ребром двугранного угла.

Двугранный угол, как и плоский угол, измеряется в градусах. Чтобы измерить двугранный угол необходимо на его грани выбрать произвольную точку O. В обеих плоскостях через точку O проводятся два луча перпендикулярно ребру a. Образованный угол AOB называется линейным углом двугранного угла с ребром a. Таким образом, для измерения угла между двумя пересекающимися плоскостями α и β необходимо измерить линейный угол ∠AOB.

Угол между плоскостями 

Плоскости называются перпендикулярными, если они образуют прямой двугранный  угол 

Угол между параллельными или  совпадающими плоскостями считается равным нулю.  

Угол между пересекающимися плоскостями  равен меньшему из двугранных углов, ими  образованных (т. е. каждый из трех остальных не меньше данного). 

Угол между двумя плоскостями равен углу  между перпендикулярными им прямыми

Угол между двумя плоскостями находится в пределах от 0° до 90 градусов

Вопросы к конспектам

Из точки вне плоскости проведены две наклонные, одна из которых равна  см и наклонена под угол 60° к плоскости. Определите длину второй наклонной, если ее проекция на плоскость равна 8 см.