Применение производной

Если для любых чисел x₁ и x₂ из промежутка D таких, что x₁ < x₂, выполняется неравенство f (x₁) < f (x₂), то функция возрастает на этом промежутке.

Если для любых чисел x₁ и x₂ из промежутка D таких, что x₁ < x₂, выполняется неравенство f (x₁) > f (x₂), то функция на этом промежутке убывает.

функция y = f (x), возрастает на каждом из промежутков [a; x₁) и (x₂; b] и убывает на промежутке (x₁; x₂).

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.

Свойства монотонных функций (предполагается, что все функции определены на некотором промежутке D).

• Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией.
• Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция.
• Если функция f возрастает, то функции cf (c > 0) и f + c также возрастают, а функцияcf (c < 0) убывает. c –константа.
• Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция 1/f убывает.
• Если функция f возрастает и неотрицательна, то fⁿ где nÎZ, также возрастает.
• Если функция f возрастает и n – нечетное число, то f ⁿ также возрастает.
• Композиция g (f (x)) возрастающих функций f и g также возрастает.

Достаточные признаки монотонности функции.

Если f ’( x ) > 0 в каждой точке интервала ( a, b ), то функция f ( x ) возрастает на этом интервале.

Если f ’( x ) < 0 в каждой точке интервала ( a, b ) , то функция f ( x ) убывает на этом интервале.

Теорема Дарбу. Точки, в которых производная функции равна 0 или не существует, делят область определения функции на интервалы, внутри которых производная сохраняет знак.

Пример. 

Найти интервалы монотонности функции f(x) = 2x + x² 

Решение.

 и ;

f'(x) = 0 при x = 1. Точки х = 0 и х = 1 делят область определения функции на три интервала ;  и . По теореме Дарбу f'(x) сохраняет знак внутри каждого из этих интервалов

Ответ: возрастает  и ,    убывает .

Внутренние точки области определения функции,  которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции

Если x₀ - точка экстремума функции f(x) и производная f’ существует в этой точке, то f’(x₀)=0.

Например, производная функции f ( x ) = x ³ равна 0 при x = 0, но эта функция не имеет экстремум в этой точке.

Если производная при переходе через точку x₀  меняет свой знак с плюса на минус, то x₀  - точка максимума.

Если производная при переходе через точку x₀ меняет свой знак с минуса на плюс, то x₀  - точка минимума.

План исследования функции. Для построения графика функции нужно:

1. найти область определения и область значений функции,
2. установить, является ли функция чётной или нечётной,
3. определить, является ли функция периодической или нет,
4. найти нули функции и её значения при x = 0,
5. найти интервалы знакопостоянства,
6. найти интервалы монотонности,
7. найти точки экстремума и значения функции в этих точках,
8. проанализировать поведение функции вблизи  “особых” точек и при больших значениях модуля x .

Пример.

Исследуйте функцию f ( x ) = x ³ + 2x ² - x -2 и постройте график.

Решение.

Исследуем функцию по вышеприведенной схеме.

1. область определения  ( x – любое действительное число); область значений ; так как f ( x ) – многочлен нечётной  степени;
2. функция f ( x ) не является ни чётной, ни нечётной
3. f ( x ) – непериодическая функция
4. график функции пересекается с осью Y  в точке ( 0, – 2 ), так как f ( 0 ) = -2 ;  чтобы найти нули функции нужно решить уравнение: x ³ + 2x ² - x - 2  = 0, один из корней которого ( x = 1 ) очевиден. Другие корни находятся ( если они есть! ) из решения квадратного уравнения: x ² + 3x + 2 = 0, которое получено делением многочлена  x ³ + 2x ² - x - 2  на двучлен ( x – 1 ). Легко проверить, что два других корня: x₂ = -2 и x₃  = -1. Таким образом, нулями функции являются: -2, -1 и 1.
5. Это значит, что числовая ось делится этими корнями на четыре интервала знакопостоянства, внутри которых функция сохраняет свой знак: Этот результат может быть получен разложением многочлена на множители:  x ³ + 2x ² -x - 2 = ( x + 2 ) ( x + 1 ( x – 1 ) и оценкой знака произведения методом интервалов.
6. Производная f’ ( x ) = 3x² + 4x -1 не имеет точек, в которых она не существует, поэтому её область определения R ( все действительные числа ); нули f’ ( x ) – это корни уравнения: 3x² + 4x - 1 = 0.

Эти корни:  функция имеет две критические точки и три интервала монотонности:   и 

Полученные результаты сведены в таблицу:

x
	+	0	—	0	+
		~0,631		~-2,112
		max		min

Нередко приходится решать задачи, в которых необходимо найти наибольшее или наименьшее значения из совокупности тех значений, которые на отрезке принимает функция.

Обратимся, например, к графику функции f(х) = 1 + 2х² – х⁴ на отрезке    [-1; 2]. Для работы с функцией нам необходимо   построить  ее  график.

Из построенного графика видно, что наибольшее значение на этом отрезке, равное 2, функция принимает в точках: х = -1 и х = 1; наименьшее значение, равное -7, функция принимает при х = 2.

Точка х=0 является точкой минимума функции f(х) = 1 + 2х² – х⁴. Это значит, что существует окрестность точки х = 0, например, интервал (-1/2; 1/2) – такая, что в этой окрестности наименьшее значение функция принимает при х = 0. Однако на большем промежутке, например, на отрезке [-1; 2], наименьшее значение функция принимает на конце отрезка, а не в точке минимума.

Таким образом, чтобы найти наименьшее значения функции на определенном отрезке, необходимо сравнить ее значения на концах отрезка и в точках минимума.

В целом предположим, что функция f(х) непрерывная на отрезке [a; b] и что функция имеет производную в каждой внутренней точке этого отрезка.

Чтобы на отрезке [a; b] найти наибольшее и наименьшее значения функции, необходимо:

1. Найти производную функции f'(x) по х.
2. Приравнять производную функции к нулю, чтобы  определить критические точки функции. Не забываем определить точки, в  которых производная не существует - они также являются критическими.
3. Из множества найденных критических точек выбирать те, которые принадлежат отрезку [a; b]. Вычислить значения функции f(x) в этих точках и на концах отрезка.
4. Из множества найденных значений функции выбирать максимальное и  минимальное значения. Это и есть искомые наибольшее и наименьшее  значения функции на отрезке.

Пример 1.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции ∫(x) = 2x³ - 6x + 5 на отрезке 

Решение.

Находим критические точки, принадлежащие : 

∫'(x) = 6x² - 6 = 6(x² - 1), 6(x² - 1) = 0, x₁ = -1, x₂ = 1.

Вычислим значение функции в этих точках:

∫'(-1) = 2*(-1)³ - 6 * (-1) + 5 = 9;  ∫'(1) = 2 * 1³ - 6 * 1 + 5 = 1.

Вычислим значение функции на концах отрезка:

Таким образом, наибольшее значение данной функции на рассматриваемом отрезке есть ∫(-1) = 9, а наименьшее 

Ответ: ∫(-1) = 9,

Пример 1.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке [4; 40].

Решение.

Находим критические точки функции, лежащие внутри данного отрезка:

Вычисляем значение функции на концах отрезка и в критической точке: ∫(4) = 11,  ∫(12) = 13,  ∫(40) = 5. Из полученых значений выбираем наибольшее и наименьшее:

Ответ:  

Задача.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(х) = х³ + х/3 на отрезке [0,5; 2].

Решение.

1. 1. f(0,5) = , f(2) = 9,5.
   2. f´(х) = 3х² – 3/х² = (3х⁴ – 3)/х², 3х⁴ – 3 = 0; х₁ = 1, х₂ = -1. Интервалу (0,5; 2) принадлежит одна стационарная точка х₁ = 1, f(1) = 4.
   3. Из чисел , 9,5 и 4 наибольшее 9,5, наименьшее 4.

Ответ. Наибольшее значение функции равно 9,5 наименьшее значение функции равно 4.

Часто при решении задач необходимо найти наибольшее и наименьшее значение функции не на отрезке, а на интервале.

В практических задачах обычно функция f(х) имеет на заданном интервале лишь одну стационарную точку: или точку максимума, или точку минимума. В этих случаях функция f(х) принимает наибольшее значение на данном интервале в точке максимума, а в точке минимума – наименьшее значение на данном интервале. Обратимся к задаче.

Задача.

Число 36 записать в виде произведения двух положительных чисел, сумма которых наименьшая.

Решение.

1. 1. Пусть первый множитель равен х, тогда второй множитель равен 36/х.
   2. Сумма этих чисел равна х + 36/х.
   3. По условия задачи х – положительное число. Итак, задача сводится к нахождению значения х – такого, при котором функция f(х) = х + 36/х принимает наименьшее значение на интервале х > 0.
   4. Найдем производную: f´(х) = 1 – 36/х² =((х + 6)(х – 6)) / х².
   5. Стационарные точки х₁ = 6, х₂ = -6. На интервале х > 0 есть только одна стационарная точка х = 6. При переходе через точку х = 6 производная меняет знак «–» на знак «+», и поэтому х = 6 – точка минимума. Следовательно, наименьшее значение на интервале х > 0 функция f(х) = х + 36/х принимает в точке х = 6 (это значение f(6) = 12).

Вопросы к конспектам

Материальная точка движется прямолинейно по закону  где x(t) - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Найти наибольшее и наименьшее значения функции  f(x) = x³ - 4x на промежутке [-2; 2]