Решение уравнений. Линейное уравнение с одной переменной

Равенство, содержащее неизвестную переменную называется уравнением.
Всякое значение переменной, при котором выражения принимают равные числовые значения, называется корнем уравнения.
Решить уравнение – значит найти все его корни или установить, что их нет.
Корни уравнения не изменятся, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.
Корни уравнения не изменятся, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак.

Пример 1
6x – 7= 11
6x = 11 + 7
6x = 18
x = 3

Пример 2
22 + 3x = 37
3x = 37 – 22
3x =15
x = 5

Если в уравнении присутствуют подобные слагаемые, следует перенести все подобные в одну часть уравнения, а числовые слагаемые в другую и привести подобные, затем найти корни.
5x + 13= 3x – 3
5x – 3x = – 3 – 13
2x = – 16
х = - 8

Линейным уравнение с одной переменной х называют уравнение вида ах + b = 0. Где a и b - любые числа (коэффиценты).
Решить линейное уравнение – значит найти все значения переменной (неизвестной), при каждом из которых уравнение обращается в верное числовое равенство. Каждое такое значение переменной называют корнем уравнения.
Если а = 0 и b = 0, то есть уравнение имеет вид 0 * х + 0 = 0, то корнем уравнения является любое число (бесконечное множество корней).
Если а = 0 и b ≠ 0, то есть уравнение имеет вид 0 * х + b = 0, то ни одно число этому уравнению не удовлетворяет, уравнение не имеет корней.

Алгоритм решения линейного уравнения ax + b = 0 в случае, когда а ≠ 0
1.Преобразовать уравнение к виду ax = - b.
2.Записать корень уравнения в виде x = ( -b ) : а

Два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни или оба не имеют корней.
ПРИМЕР: равносильны уравнения 4х-2=0 и 2х – 1 = 0.
Каждый из них имеет корень х =0,5
Процесс решения уравнения состоит в том, что его заменяют более простым уравнением, равносильным исходному.
Равносильность уравнений обозначают символом ⇔;
Равносильные преобразования уравнения — это преобразования, приводящие к равносильному уравнению:
1) прибавление одновременно к обеим частям уравнения любого числа (в частности, перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением знака);
2) умножение (и деление) обеих частей уравнения одновременно на любое число, отличное от нуля (в частности, на -1); кроме того, для уравнений в области действительных чисел:
3) возведение обеих частей уравнения в любую нечетную натуральную степень (например, в куб);

Алгоритм решения уравнения ax + b = cx + d ( a ≠ c )
1. Перенести все неизвестные члены уравнения из правой части уравнения в левую с противоположными знаками,а известные члены с левой части в правую с противоположенным знаком
2. Привести подобные слагаемые, в результате чего получится уравнение вида kx = m = 0, где k ≠ 0.
3. Записать его корень: x = -m : k.
Например:
3х+5=2х-7
3х-2х= -7 -5
х = -12

Вопросы к конспектам

Найти число (-11х + 5)² + х, где х корень уравнения 

Найдите корень уравнения: (5,3 - 2,8)х + 2,5х = 1 : 

Решите уравнение: 

Решите уравнение: 

Решите уравнение: 

Решите уравнение: