Следствие из постулатов теории относительности

 Введение

По­сту­ла­ты СТО.

1. Все про­цес­сы в при­ро­де про­те­ка­ют оди­на­ко­во во всех инер­ци­аль­ных си­сте­мах от­сче­та (прин­цип от­но­си­тель­но­сти).

2. Ско­рость света в ва­ку­у­ме оди­на­ко­ва во всех инер­ци­аль­ных си­сте­мах от­сче­та, она не за­ви­сит ни от ско­ро­сти ис­точ­ни­ка, ни от ско­ро­сти при­ем­ни­ка све­то­во­го сиг­на­ла.

 Относительность расстояния

Ока­зы­ва­ет­ся, что рас­сто­я­ние не яв­ля­ет­ся аб­со­лют­ной ве­ли­чи­ной, а за­ви­сит от ско­ро­сти дви­же­ния объ­ек­та от­но­си­тель­но вы­бран­ной си­сте­мы от­сче­та (Рис. 1.).

Рис. 1. След­ствие 1

Пусть у нас есть стер­жень дли­ной  в си­сте­ме от­сче­та , от­но­си­тель­но ко­то­рой этот стер­жень по­ко­ит­ся. Тогда длина , этого стерж­ня в си­сте­ме от­сче­та , от­но­си­тель­но ко­то­рой стер­жень дви­жет­ся со ско­ро­стью , опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой:

По­лу­ча­ет­ся, что длина стерж­ня  будет мень­ше ее пер­во­на­чаль­ной длины, если эта ручка будет дви­гать­ся со ско­ро­стью . В этом и со­сто­ит ре­ля­ти­вист­ское со­кра­ще­ние длины.

В по­все­днев­ной жизни мы стал­ки­ва­ем­ся с от­но­си­тель­но неболь­ши­ми ско­ро­стя­ми и по­это­му на­блю­дать ре­ля­ти­вист­ское со­кра­ще­ние длины не можем.

 Относительность промежутков времени

Ока­зы­ва­ет­ся, в за­ви­си­мо­сти от вы­бо­ра си­сте­мы от­сче­та и от того, с какой ско­ро­стью одна си­сте­ма от­сче­та дви­жет­ся от­но­си­тель­но дру­гой, будет за­ви­сеть и тот про­ме­жу­ток вре­ме­ни, ко­то­рый будет фик­си­ро­вать­ся в той или иной си­сте­ме.

Пусть ин­тер­вал вре­ме­ни между двумя со­бы­ти­я­ми, про­ис­хо­дя­щи­ми в одной и той же точке инер­ци­аль­ной си­сте­мы  равен  (Рис. 2.).

Рис. 2. След­ствие 2

На­при­мер, этими со­бы­ти­я­ми могут быть два удара мет­ро­но­ма, от­счи­ты­ва­ю­ще­го се­кун­ды, тогда ин­тер­вал  между этими со­бы­ти­я­ми в си­сте­ме от­сче­та , ко­то­рая дви­жет­ся от­но­си­тель­но си­сте­мы , со ско­ро­стью , вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой:

Оче­вид­но, что  будет боль­ше чем , в этом и со­сто­ит ре­ля­ти­вист­ское за­мед­ле­ние вре­ме­ни в дви­жу­щей­ся си­сте­ме от­сче­та.

 Релятивистский закон сложения скоростей

Для на­ча­ла вспом­ним, каким был закон сло­же­ния ско­ро­стей в клас­си­че­ской ме­ха­ни­ке. Если, на­при­мер, едет ав­то­мо­биль со ско­ро­стью 20 км/час, а в этом авто летит муха со ско­ро­стью 5 км/час, то для на­блю­да­те­ля на земле ско­рость мухи будет ка­зать­ся 25 км/час.

Те­перь рас­смот­рим сло­же­ние ско­ро­стей с точки зре­ния тео­рии от­но­си­тель­но­сти.

Па­ра­докс близ­не­цов

Рас­смот­рим ин­те­рес­ное след­ствие из ре­ля­ти­вист­ско­го за­мед­ле­ния вре­ме­ни (па­ра­докс близ­не­цов):

Пред­ставь­те, что есть два бра­та-близ­не­ца, Петр и Иван. Ваня – кос­мо­навт и от­прав­ля­ет­ся в пу­те­ше­ствие на ра­ке­те со ско­ро­стью, близ­кой к ско­ро­сти света. Его нет при­бли­зи­тель­но один год (по сво­е­му субъ­ек­тив­но­му вре­ме­ни).

И, вер­нув­шись на Землю, он встре­ча­ет­ся с бра­том, ко­то­рый, к его удив­ле­нию, вы­гля­дит на­мно­го стар­ше него.

Рас­смот­рим это след­ствие на част­ном при­ме­ре (Рис. 3.).

Рис. 3. След­ствие 3

Пусть тело дви­жет­ся вдоль оси си­сте­мы от­сче­та , ко­то­рая, в свою оче­редь, дви­жет­ся со ско­ро­стью  от­но­си­тель­но си­сте­мы от­сче­та . При­чем в про­цес­се дви­же­ния ко­ор­ди­нат­ные оси  и все время сов­па­да­ют, а ко­ор­ди­нат­ные оси  и , и  оста­ют­ся па­рал­лель­ны­ми.

Обо­зна­чим ско­рость тела от­но­си­тель­но через ско­рость , а ско­рость этого же тела от­но­си­тель­но  через . Тогда ре­ля­ти­вист­ский закон сло­же­ния ско­ро­стей будет иметь сле­ду­ю­щий вид:

 Связь между релятивистским и классическим законами сложения скоростей

По­про­бу­ем со­от­не­сти этот закон с эк­ви­ва­лент­ным ему в клас­си­че­ской ме­ха­ни­ке. Рас­смот­рим пре­дель­ные слу­чаи, когда ско­ро­сти очень малы в срав­не­нии со ско­ро­стью света.

Если ско­рость  зна­чи­тель­но мень­ше ско­ро­сти света и ско­рость  тоже зна­чи­тель­но мень­ше ско­ро­сти света, то ча­стью зна­ме­на­те­ля в фор­му­ле , можно пре­не­бречь, и в таком слу­чае мы по­лу­чим клас­си­че­ский закон сло­же­ния ско­ро­стей:

Рас­смот­рим еще один пре­дель­ный слу­чай. Пред­ставь­те, что вы едете на по­ез­де и вклю­ча­е­те фо­на­рик, для тех, кто стоит на земле, ско­рость света от фо­на­ри­ка оста­нет­ся , а не  плюс ско­рость по­ез­да, как могло по­ка­зать­ся (слу­чай, когда одна из ско­ро­стей равна ско­ро­сти света).

Тогда вы­хо­дит, что , под­ста­вим это зна­че­ние в фор­му­лу, тогда:

Вы­хо­дит, что и ско­рость тоже будет рав­нять­ся , как этого тре­бу­ет вто­рой по­сту­лат тео­рии от­но­си­тель­но­сти.

Ре­ля­ти­вист­ский закон сло­же­ния ско­ро­стей спра­вед­лив, хотя и не со­всем на­гля­ден. Пред­ставь­те себе на­блю­да­те­ля на земле, он смот­рит на боль­шую ра­ке­ту, ко­то­рая дви­жет­ся от­но­си­тель­но Земли со ско­ро­стью, близ­кой к ско­ро­сти света. И от этой боль­шой ра­ке­ты от­де­ля­ет­ся ма­лень­кая ра­ке­та, ко­то­рая тоже на­чи­на­ет дви­гать­ся от­но­си­тель­но боль­шой со ско­ро­стью .

Из ре­ля­ти­вист­ско­го за­ко­на сло­же­ния ско­ро­стей сле­ду­ет, что для на­блю­да­те­ля на Земле и пер­вая, и вто­рая ра­ке­ты будут дви­гать­ся со ско­ро­стя­ми, близ­ки­ми к ско­ро­сти света . Вы­хо­дит, что фак­ти­че­ски от­ли­чие в ско­ро­стях от­сут­ству­ет. Хотя мы по­ни­ма­ем, что малая ра­ке­та дви­жет­ся с огром­ной ско­ро­стью от­но­си­тель­но боль­шой.