Понятие логарифма, свойства логарифмов

Рассмотрим два произвольных действительных числа  a и b, удовлетворяющих условиям: a > 0; a ≠ 1; b > 0

      Определение. Логарифмом числа b  по основанию a называют такую степень, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b.

      Другими словами, логарифм числа b по основанию a – это такое число x, которое является решением уравнения a^x = b

      Доказательство того, что решение уравнения существует и единственно, выходит за рамки школьной программы.

      Для логарифма числа b по основанию a используется обозначение:

log_ab

      Таким образом, для всех действительных чисел  a и b, удовлетворяющих условиям a > 0; a ≠ 1; b > 0 справедливо равенство

a^log_ab = b,

которое часто называют основным логарифмическим тождеством.

      Замечание. Обратим особое внимание на то, что при решении уравнения a^x =b мы ищем показатель степени, а при решении уравнения

x ^a = b.

мы ищем основание степени, которое вычисляется по формуле

и в случае, когда a – натуральное число, является корнем натуральной степени из числа b.

Пример 1. 

Решить уравнение x³ = 81 .

Решение. 

Воспользовавшись понятием кубического корня и свойствами степеней, получаем

Ответ: .

Пример 2. 

Решить уравнение 3^x = 81 .

Решение. 

Воспользовавшись тем, что число 81 является четвертой степенью числа 3, получаем:

.

Ответ: 4.

     

Задача. 

Доказать, что число log₂ 3 иррационально.

Решение. 

    Предположим противное, т.е. предположим, что указанное число рационально. Тогда существует несократимая дробь , числитель и знаменатель которой являются натуральными числами и такая, что справедливо равенство: 

Из определения логарифма отсюда вытекает равенство: , следствием которого является равенство: 2^m = 3ⁿ .

      Но последнее равенство невозможно, поскольку его левая часть четное число, а правая – нечетное. Полученное противоречие доказывает требуемое в задаче утверждение.

Свойства логарифмов

      Перечисленные ниже свойства логарифмов вытекают из основного логарифмического тождества:

1. log_aa = 1, a > 0, a ≠ 1
2. log_aa^p = p, a > 0, a ≠ 1
3. log_a1 = 0, a > 0, a ≠ 1
4. log_a(bc) = log_ab + log_ac, a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0
5. log_a = log_ab - log_ac, a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0
6. log_ab^p = plog_ab, a > 0, a ≠ 1, b > 0
7. log_ab = , a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1
8. log_ab = log_ab, a > 0, a ≠ 1, b > 0, p ≠ 1
9. log_ab = , a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1
10. log_ab = log_cb * log_ac, a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1

 В математике, физике и во многих других областях естествознания и технологий важное место занимают десятичные логарифмы и натуральные логарифмы.

      Десятичные логарифмы – это логарифмы с основанием 10, а основанием натуральных логарифмов является иррациональное и трансцендентное число  e, которое определяется по формуле

у = lim_n→∞(1 + )ⁿ ≈ 2,71828182...,

доказательство которой выходит за рамки школьной программы.

      Для десятичных и натуральных логарифмов используются соответственно обозначения:

lg b       и      ln b,

причем

lg e ≈ 0,43429...,

ln 10 ≈ 2,30259...,

      Для того, чтобы не ошибаться при решении логарифмических уравнений и неравенств, свойства логарифмов, перечисленные в предыдущем разделе,  следует применять внимательно и аккуратно.

      Например, если при решении уравнения или неравенства требуется преобразовать выражение

log_a ( f (x)² ) ,

то вместо формулы

log_a(f(x)²) = 2log_af(x),  a > 0, a ≠ 1, f(x) > 0

следует применять формулу

log_a(f(x)²) = 2log_af(x),  a > 0, a ≠ 1, f(x) ≠ 0

поскольку в противном случае можно потерять корни.

      По той же причине при преобразовании выражений

log_a(f(x)g()x) и 

следует использовать формулы:

log_a(f(x)g()x) = log_af(x)|+log_ag(x)|, a > 0, a ≠ 1, f(x)g(x) > 0

= log_af(x)|-log_ag(x)|, a > 0, a ≠ 1, f(x)g(x) > 0

Вопросы к конспектам